高二数学新教材知识讲学专题15 椭圆及其标准方程（核心素养练习）（解析版）

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专题十五 椭圆及其标准方程
一、核心素养聚焦
考点一 数学运算-求椭圆的方程
例题 5.求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程．
【解析】　因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在 x轴上，且 c2＝25－9＝16.
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为 c2＝16，且 c2＝a2－b2，故 a2－b2＝16　①.
又点(3，)在所求椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1　②.
由①②得 a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
考点二 逻辑推理-点的轨迹
例题 6已知 x轴上一定点 A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段 AQ 中点 M的轨迹方程．
【解析】　设中点 M的坐标为(x，y)，点 Q的坐标为(x0，y0)．
利用中点坐标公式，
得∴
∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，∴＋y＝1.
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，
得＋(2y)2＝1.
故所求 AQ 的中点 M的轨迹方程是＋4y2＝1.
二、学业质量测评
一、选择题
1．已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为 （ ）
A．且B．且
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，得 ，解得 且 ．故选 B.
1
2．已知椭圆 的焦点在 轴上，且焦距为 4，则 等于（）
A．4B．5C．7D．8
【答案】D
【解析】∵ 椭圆 的焦点在 轴上，
∴ ， ，
∵焦距为 4，
∴即 ，
在椭圆中： 即 ，解得： ，
故选：D
3．椭圆的焦距为 8，且椭圆上一点到两焦点的距离为 10，则该椭圆的标准方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【解析】根据题意，椭圆的焦距为 8，椭圆上一点到两焦点的距离为 10，则 ， ，
即 ， ，
则 ，
若椭圆的焦点在 轴上，则其标准方程为 ，
若椭圆的焦点在 轴上，则其标准方程为 ，
2
故要求椭圆的标准方程为 或 ，
故选 ．
4．已知 F1，F2是椭圆 ＋ ＝1的两焦点，过点 F2的直线交椭圆于 A，B两点．在△AF1B中，
若有两边之和是 10，则第三边的长度为 ( )
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】因为根据已知条件可知，椭圆 ＋ ＝1中16>9,说明焦点在 x轴上，同时
a=4,b=3,而过点 F2的直线交椭圆于 A，B两点，则点 A到F2，F1的距离和为 2a=8,点B到F2，F1
的距离和为 2a=8，结合椭圆的定义可知△AF1B的周长为 4a=16.在结合三角形的周长公式可知，
其中两边之和为 10，则另一边的长度为 16-10=6 故选 A.
5．△ABC 的两个顶点坐标 A（-4，0），B（4，0），它的周长是 18，则顶点 C的轨迹方程是（
）
A． B．（y≠0）
C．D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
所以顶点 C的轨迹为以 A，B为焦点的椭圆，去掉 A，B，C共线的情况，即
，
所以顶点 C的轨迹方程是 ，
故选：D.
3
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