高二数学新教材知识讲学专题13 圆与圆的位置关系 知识精讲 （原卷版）

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专题十三 圆与圆的位置关系
一 知识结构图
二.学法指导
1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
(2)计算两圆圆心的距离 d；
(3)通过 d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，
数形结合．
2．过两圆的交点的圆的方程
已知圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的
圆的方程可设为 x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
3．判断两圆的位置关系的方法
(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用．
(2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系．
相交⇔|R－r|＜d＜R＋r.
相切
相离
(特别地 d＝0时，两圆为同心圆)
4．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去 x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．
1
内 容 考点 关注点
圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 判断两圆的位置关系
即若圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所
在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
三.知识点贯通
知识点 1 圆与圆的位置关系的判断
圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆的圆心距为 d，则两圆的位置关系的判断方法如
下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的
关系 d ＞ r 1＋ r 2d ＝ r 1＋ r 2
| r 1－ r 2| ＜ d ＜ r 1
＋ r 2
d ＝ | r 1－ r 2|0 ＜ d ＜ | r 1
－ r 2|
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
――→一元二次方程
例题 1.当实数 k为何值时，两圆 C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相
切、外离？
知识点二 两圆相切问题
处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种
情况讨论．
2
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