高二数学新教材知识讲学专题12 直线与圆的位置关系 知识精讲 （解析版）

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专题十二 直线与圆的位置关系
一 知识结构图
内 容 考点 关注点
直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系
二.学法指导
1．直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆
的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判
断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点 ．
解题时可根据条件作出恰当的选择．
2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求
直线的斜率不存在的情形，避免漏解．
3．坐标法解决问题的一般步骤
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标及曲线的方程；
(3)利用所学公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论；
(4)反演回去，得到几何问题的结论．
三.知识点贯通
知识点 1 直线与圆的位置关系
1.直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
2.直线 Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
1
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判定
方法
几何法：设圆心到直线的距离 d＝d＜r d＝r d＞r
代数法：由
消元得到一元二次方程的判别式 Δ
Δ＞0Δ＝0Δ＜0
例题 1.已知直线方程 mx－y－m－1＝0，圆的方程 x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
【解析】　法一：将直线 mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴(1)当Δ>0 时，即 m>0 或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0时，即 m＝0或m＝－时，直线与圆相切，
即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0 时，即－<m<0 时，直线与圆相离，
即直线与圆没有公共点．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为 C(2,1)，半径 r＝2.
圆心 C(2,1)到直线 mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝.
(1)当d<2 时，即 m>0 或m<－时，直线与圆相交，
2
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