高二数学新教材知识讲学专题11 圆的方程 知识精讲 （解析版）

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专题十一 圆的方程
一 知识结构图
内 容 考点 关注点
圆的方程
圆的标准方程 圆心坐标、半径
点与圆的位置关系 距离与半径比较
圆的一般方程 与标准方程互化
二.学法指导
1．判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
2．确定圆的标准方程的方法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从
而得到圆的标准方程．
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准
方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设—设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②列—由已知条件，建立关于 a，b，r的方程组；
③解—解方程组，求出 a，b，r；
④代—将 a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．
3．求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的
问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出 a，b，r；如果已知条件与圆心和半径都无直
1
接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数 D，E，F.
4．圆的方程的几种特殊情况
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
过原点 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在 x轴上 x2＋y2＋Dx＋F＝0(D2－4F＞0)
圆心在 y轴上 x2＋y2＋Ey＋F＝0(E2－4F＞0)
5..求涉及到曲线的轨迹问题时，一般有两种方法：一是直接法，即把动点满足的条件直接用坐标
“翻译”过来的方法；二是代入法，代入法也叫相关点法，就是把动点(x，y)与相关点(x0，y0)建立
等式，再把 x0，y0用x，y表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意条件的限制．
三.知识点贯通
知识点 1 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为 C(a，b)，半径为 r，点 P(x0，y0)，设 d＝|PC|＝.
位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点
点在圆外 d＞r(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
点在圆上 d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 d＜r(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
例题 1.已知圆的圆心 M是直线 2x＋y－1＝0与直线 x－2y＋2＝0的交点，且圆过点 P(－5,6)，求圆
的标准方程，并判断点 A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
【解析】　解方程组得
2
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