专项9.4 利用向量的数量积求垂直关系、数量夹角及求模（解析版）

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2020—2021 高中必修二专项冲刺卷（苏教版）
专项 9.4 利用向量的数量积求垂直关系、数量夹角及求模
姓名：___________考号：___________分数：___________
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．已知菱形 中， ， ， ， ，则 （
）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据平面向量基本定理，由题中条件，用 和 表示出 与 ，再由向量数量积的运算法
则，根据题中数据，可直接得出结果.
【解析】
由题 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
在菱形 中， ， ，
则 ， ， ，
所以 .
1
故选：B.
【点睛】
思路点睛：
求解平面图形中的向量数量积问题时，一般需要利用已知模与夹角的向量表示出所求向量，再由向
量数量积的运算法则，即可求解.
2．已知单位向量 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由已知得 ，进而两边平方得 ，故 或
（舍），故 ，进而得答案.
【解析】
由 ，得 ，两边平方，得 ，
即 ，整理得 ，
所以 或
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选:B.
【点睛】
本题考查向量模的运算，考查方程思想与运算求解能力，是中档题.解题的关键在于根据已知将问
2
题转化为关于 的方程，进而得 ，最后结合向量模与二次函数性质求最值即可.
3．已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先求得 及 ，再利用投影公式求得结果.
【解析】
由题意可得 ，
，
故 在 方向上的投影为 .
故选：B.
4．已知向量 ， 满足| |＝2，| |＝3，·( －)＝－1，则 与 的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据 可求 ，再根据数量积的定义可求 与 的夹角.
【解析】
由 可得 ，故 ，
故 即 ，而 ，
3
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