专题一第5讲母体突破导数不等式的证明、恒成立问题与有解问题、零点问题（原卷版）

3.0 envi 2025-04-11 4 4 57KB 10 页 3知币

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专题一第 5 讲　导数的综合应用

【情报站】

1.导数逐渐成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高

考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.2.

多以解答题压轴形式出现，难度较大．

母题突破 1　导数与不等式的证明

母题　(2017·全国Ⅲ)已知函数 f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.

(1)讨论 f(x)的单调性；

(2)当 a<0 时，证明 f(x)≤－－2.

[子题 1]　设函数 f(x)＝ln x－x＋1.证明：当 x∈(1，＋∞)时，1<<x.

[子题 2]　已知函数 f(x)＝ex－x2.求证：当 x>0 时，≥ln x＋1.

拓展训练

1．(2018·全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝aex－ln x－1.

(1)设 x＝2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间；

(2)证明：当 a≥时，f(x)≥0.

2．(2020·株州模拟)已知 f(x)＝ln x＋.

(1)若函数 g(x)＝xf(x)，讨论 g(x)的单调性与极值；

(2)证明：f(x)>.

强化练（一）

1．(2020·沈阳模拟)已知函数 f(x)＝x2－(a－2)x－aln x，a>0.

(1)求函数 y＝f(x)的单调区间；

(2)当 a＝1 时，证明：对任意的 x>0，f(x)＋ex>x2＋x＋2.

2．(2020·全国Ⅱ)已知函数 f(x)＝sin2xsin 2x.

(1)讨论 f(x)在区间(0，π)的单调性；

(2)证明：|f(x)|≤ ；

(3)设 n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.

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