专题40 抛物线-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过

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考点 40 抛物线
（1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
（2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
一、抛物线的定义和标准方程
1．抛物线的定义
平面内与一个定点 F和一条定直线 l(l不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点F叫做抛物线的焦点，直线 l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点 F与准线垂直的直线对称，这条
直线叫抛物线的对称轴， 简称抛物线的轴．
注意：直线 l不经过点 F，若 l经过 F点，则轨迹为过定点 F且垂直于定直线 l的一条直线．
2．抛物线的标准方程
（1）顶点在坐标原点，焦点在 x轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ；
（2）顶点在坐标原点，焦点在 x轴负半轴上的抛物线的标准方程为 ；
（3）顶点在坐标原点，焦点在 y轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ；
（4）顶点在坐标原点，焦点在 y轴负半轴上的抛物线的标准方程为 .
注意：抛物线标准方程中参数 p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p的值永远大于 0，当
1
抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现 p＜0的错误.
二、抛物线的几何性质[来源:Zxxk.Com]
1．抛物线的几何性质
标准方程
图形
几
何
[来
源:Z+xx+k.
Com]
性
质
[来
源:Z。xx。
k.Com]
范围 [来源:学科网] [来源:Zxxk.Com]
对称性 关于 x轴对称 关于 x轴对称 关于 y轴对称 关于 y轴对称
焦点
准线方程
顶点 坐标原点(0，0)
离心率
2．抛物线的焦半径
抛物线上任意一点 与抛物线焦点 F的连线段，叫做抛物线的焦半径．
根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：
抛物线方程
焦半径公式
3．抛物线的焦点弦
2
抛物线的焦点弦即过焦点 F的直线与抛物线所成的相交弦．
焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，
再利用两点间的距离公式得到，设 AB 为焦点弦， ， ，则
抛物线方程
焦点弦公式
其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于 A，B两点的线段 AB，称为抛物线的通径．
对于抛物线 ，由 ， ，可得 ，故抛物线的通径长为 2p．
4．必记结论
直线 AB 过抛物线 的焦点，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当 x1＝x2时，弦长最短为 2p.
（3）＋为定值.
（4）弦长 AB＝(α为AB 的倾斜角)．
（5）以 AB 为直径的圆与准线相切．
（6）焦点 F对A，B在准线上射影的张角为 90°.
3
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