专题39 双曲线-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过

3.0 envi 2025-04-11 5 4 4.03MB 26 页 3知币

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考点 39 双曲线

（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

（2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.

一、双曲线的定义和标准方程

1．双曲线的定义

（1）定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫

做双曲线．

这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

（2）符号语言： .

（3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；

当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；

当时，轨迹为分别以 F1，F2为端点的两条射线；

当时，动点轨迹不存在．

2．双曲线的标准方程

双曲线的标准方程有两种形式：

（1）焦点在 x轴上的双曲线的标准方程为 (a＞0，b＞0) ，焦点分别为 F1(－

c，0)，F2(c，0)，焦距为 2c，且，如图 1所示；

（2）焦点在 y轴上的双曲线的标准方程为 (a＞0，b＞0) ，焦点分别为 F1(0 ，－

c)，F2(0，c)，焦距为 2c，且，如图 2所示．

图1图2

注：双曲线方程中 a，b的大小关系是不确定的，但必有 c＞a＞0，c＞b＞0．

3．必记结论

（1）焦点到渐近线的距离为 b.

（2）与双曲线 (a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为

．

（3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或

．

（4）与双曲线 (a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为

．

（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为．

（6）与椭圆 (a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为

．

二、双曲线的几何性质

1．双曲线的几何性质

标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0)

图形

范围，，

对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点[来源:学科网]

焦点左焦点 F1(－c，0)，右焦点 F2(c，0) 下焦点 F1(0，－c)，上焦点 F2(0，c)

顶点

轴

线段 A1A2是双曲线的实轴，线段 B1B2是双曲线的虚轴；

实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b

渐近线

离心率 e

2．等轴双曲线的概念和性质

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