专题38 椭圆（教学案）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍（原卷版）

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专题 38 椭圆

1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。

2．了解椭圆的简单应用。

3．理解数形结合的思想。

热点题型一椭圆的定义及其标准方程

例1、（2018 年全国Ⅱ卷理数）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶

点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A. B. C. D.

【变式探究】 (1)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则

△PF1F2的面积为(　　)

A．30 B．25

C．24 D．40

(2)已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆 C1内部且和圆 C1相内切，和圆 C2

相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为(　　)

A.－＝1 B.＋＝1

C.－＝1 D.＋＝1

【提分秘籍】

椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率

等。

(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题。

(3)当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且

A≠B)。

【举一反三】

椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1作垂直于 x轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P，则|

PF2|＝(　　)

A. B. C. D．4

热点题型二椭圆的几何性质

例2、（2018 年北京卷）已知椭圆，双曲线．若双曲线 N的两条渐

近线与椭圆 M的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M的离心率为_________

_；双曲线 N的离心率为__________．

【变式探究】 (1)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为，过 F2的直线 l交C

于A，B两点，若△AF1B的周长为 4，则 C的方程为(　　)

A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1

(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点 P使＝，则该椭圆

的离心率的取值范围是________。

【提分秘籍】

椭圆几何性质的应用技巧

(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析。

(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式。例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的

范围时，要注意应用这些不等关系。

(3)紧扣定义是解题的一个基本出发点，涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单。

【举一反三】 [来源:Zxxk.Com]

椭圆＋＝1的离心率为，则 k的值为(　　)

A．－21 B．21 C．－或 21 D.或21

热点题型三直线与椭圆的位置关系

例3．（2018 年天津卷）设椭圆 (a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为，

点A的坐标为，且 .

（I）求椭圆的方程；

（II）设直线 l：与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l与直线 AB 交于点 Q. 若

(O为原点) ，求 k的值.

【变式探究】【2017 天津，理 19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心

率为 .已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为 .

（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与

轴相交于点 .若的面积为，求直线的方程.

【变式探究】若 F1、F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且|PF1|

＋|PF2|＝4，|F1F2|＝2。

(1)求出这个椭圆的方程；

(2)是否存在过定点 N(0,2)的直线 l与椭圆交于不同的两点 A、B，使OA⊥OB(其中 O为坐标原点)？若

存在，求出直线 l的斜率 k；若不存在，说明理由。

【提分秘籍】

1．直线与椭圆位置关系判断的步骤

(1)联立直线方程与椭圆方程。

(2)消元得出关于 x(或y)的一元二次方程。

(3)当Δ>0 时，直线与椭圆相交；当 Δ＝0时，直线与椭圆相切；当 Δ<0 时，直线与椭圆相离。

2．直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法

涉及问题处理方法

弦长

根与系数的关系、弦长公式

(直线与椭圆有两交点)

中点弦或弦的中点点差法(结果要检验)

【举一反三】

在直角坐标系 xOy 中，点 P到两点(0，－)、(0，)的距离之和等于 4，设点 P的轨迹为 C，直线 y＝kx＋

1与C交于 A、B两点。

(1)写出 C的方程；

(2)若OA⊥OB，求 k的值。

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