专题38 椭圆（教学案）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍（解析版）

3.0 envi 2025-04-11 4 4 5.11MB 57 页 3知币

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1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。

2．了解椭圆的简单应用。

3．理解数形结合的思想。

[来源:Z.xx.k.Com]

热点题型一椭圆的定义及其标准方程

例1、（2018 年全国Ⅱ卷理数）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶

点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A. B. C. D.

【答案】D

【变式探究】 (1)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则

△PF1F2的面积为(　　)

A．30 B．25

C．24 D．40

(2)已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆 C1内部且和圆 C1相内切，和圆 C2

相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为(　　)

A.－＝1 B.＋＝1

C.－＝1 D.＋＝1

【解析】(1)∵|PF1|＋|PF2|＝14，

【提分秘籍】

椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率

等。

(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题。学……&科网

(3)当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且

A≠B)。

【举一反三】

椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1作垂直于 x轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P，则|

PF2|＝(　　)

A. B. C. D．4

【答案】A

【解析】a2＝4，b2＝1，所以 a＝2，b＝1，c＝，不妨设 P在x轴上方，则 F1(－，0)，设 P(－，m)

(m>0)，则＋m2＝1，解得 m＝，所以|PF1|＝，根据椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2

－＝。

热点题型二椭圆的几何性质

例2、（2018 年北京卷）已知椭圆，双曲线．若双曲线 N的两条渐

近线与椭圆 M的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M的离心率为_________

_；双曲线 N的离心率为__________．

【答案】(1). (2). 2

【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，

所以椭圆 M的离心率为

双曲线 N的渐近线方程为，由题意得双曲线 N的一条渐近线的倾斜角为，

【变式探究】 (1 )已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为，过 F2的直线 l交C

于A，B两点，若△AF1B的周长为 4，则 C的方程为(　　)

A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1

(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点 P使＝，则该椭圆

的离心率的取值范围是________。

又0<e<1，因此－1<e<1。

【提分秘籍】

椭圆几何性质的应用技巧

(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析。

(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式。例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的

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