专题38 抛物线-高考全攻略之备战2018年高考数学（文）考点一遍过

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考点 38 抛物线

了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.

一、抛物线的定义和标准方程

1．抛物线的定义

平面内与一个定点 F和一条定直线 l(l不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．

点F叫做抛物线的焦点，直线 l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点 F与准线垂直的直线对称，这条

直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．

注意：直线 l不经过点 F，若 l经过 F点，则轨迹为过定点 F且垂直于定直线 l的一条直线．

2．抛物线的标准方程

（1）顶点在坐标原点，焦点在 x轴正半轴上的抛物线的标准方程为；

（2）顶点在坐标原点，焦点在 x轴负半轴上的抛物线的标准方程为；

（3）顶点在坐标原点，焦点在 y轴正半轴上的抛物线的标准方程为；

（4）顶点在坐标原点，焦点在 y轴负半轴上的抛物线的标准方程为 .

注意：抛物线标准方程中参数 p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p的值永远大于 0，当

抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现 p＜0的错误.

二、抛物线的几何性质

1．抛物线的几何性质

标准方程

图形

几

何

性

[来

源:Zxxk.Co

质

范围[来源:Z+xx+k.Com] [来源:Z。xx。k.Com] [来源:Z_xx_k.Com] [来源:学科网 ZXXK]

对称性关于 x轴对称关于 x轴对称关于 y轴对称关于 y轴对称

焦点

准线方程

顶点坐标原点(0，0)

离心率

2．抛物线的焦半径

抛物线上任意一点与抛物线焦点 F的连线段，叫做抛物线的焦半径．

根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：

抛物线方程

焦半径公式

3．抛物线的焦点弦

抛物线的焦点弦即过焦点 F的直线与抛物线所成的相交弦．

焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，

再利用两点间的距离公式得到，设 AB 为焦点弦，，，则

抛物线方程

焦点弦公式

其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于 A，B两点的线段 AB，称为抛物线的通径．

对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为 2p．

4．必记结论

直线 AB 过抛物线的焦点，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：

（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.

（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当 x1＝x2时，弦长最短为 2p.

（3）＋为定值.

（4）弦长 AB＝(α为AB 的倾斜角)．

（5）以 AB 为直径的圆与准线相切．

（6）焦点 F对A，B在准线上射影的张角为 90°.

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