专题27 概率统计部分高考预测（原卷版）

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专题 27 概率统计部分高考预测

概率、随机变量及其分布列

[高考定位] 考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容，主要以选择题、填空题的形

式出现，一般试卷中都有一题，多为容易或中等难度题；离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的

计算问题常常结合在一起进行考查，常以解答题的形式出现．

考点一　古典概型与几何概型[核心提炼]

1．古典概型的概率 P(A)＝＝.

2．几何概型的概率 P(A)＝

[规律方法]

1．古典概型求解的关键点

(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识．

(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．

2．几何概型的适用条件及其关键

(1)适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解

(2)关键：寻找构成试验全部结果的区域和事件发生的区域是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所

需要的区域．

考点二　相互独立事件和独立重复试验

[核心提炼]1．条件概率

在事件 A发生的条件下事件 B发生的概率：P(B|A)＝.

2．相互独立事件同时发生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)．

3．独立重复试验、二项分布

如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n次独立重复试验中恰好发生 k次的概率为

Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n

有关相互独立事件和独立重复试验的注意事项

(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件还

是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．

(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次

试验中，事件发生的概率相同．

(3)牢记公式 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，并深刻理解其含义．

考点三　随机变量的分布列、均值与方差

[核心提炼]1．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为实数)．

2．两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若X服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．

(2)若X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p

求解随机变量分布列问题的两个关键点

(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类

概率公式求概率．

(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列．若随机变量服从二项分布，则可直接使用

公式法求解．

[高考定位] 在选择题、填空题中，多考查用样本估计总体和变量的相关性，难度较低．在解答题中，一是

将频率分布直方图或茎叶图与概率综合进行考查，二是将频率分布直方图或茎叶图与线性回归分析或独立

性检验综合进行考查，难度中等．

考点一　用样本估计总体[核心提炼]

1．直方图的两个结论

(1)小长方形的面积＝组距×＝频率．

(2)各小长方形的面积之和等于 1.

2．统计中的 4个数字特征

(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．

(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个

数据的平均数作为中位数．

(3)平均数：样本数据的算术平均数，即

x＝(x1＋x2＋…＋xn)．

(4)方差与标准差

方差：s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．

标准差：s＝

[规律方法]

众数、中位数、平均数与直方图的关系

(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．

(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．

(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和．

考点二　回归分析

[核心提炼]

1．线性回归方程方程y＝bx＋a称为线性回归方程，其中b＝，a＝y－bx，(x，y)称为样本点的中心．

2．样本数据的相关系数 r

r＝

反映样本数据的相关程度，|r|越大，相关性越强．

求回归直线方程的方法

(1)对于选择题，常利用回归直线必经过样本点的中心(x，y)快速解决．

(2)对于解答题，求回归直线方程的一般步骤为：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关

关系；②计算x，y，∑x，∑xiyi的值；③计算回归系数a，b；④写出回归直线方程y＝bx＋a.

考点三　独立性检验

[核心提炼]

1．2×2 列联表设两个变量 A，B，每一个变量都可以取两个值，变量 A：A1，A2，变量 B：B1，B2，则

2×2 列联表如下：

B1B2总　计

A1a b a＋b

A2c d c＋d

总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d

2.K2的计算公式

K2＝(其中 n＝a＋b＋c＋d)．

3．两个分类变量 A和B是否有关系的判断方法

(1)当K2≤2.706 时，没有充分的证据判定变量 A，B有关联，可以认为变量 A，B没有关联．

(2)当K2＞2.706 时，有 90%的把握判定变量 A，B有关联．

(3)当K2＞3.841 时，有 95%的把握判定变量 A，B有关联．

(4)当K2＞6.635 时，有 99%的把握判定变量 A，B有关联．

(5)当K2＞10.828 时，有 99.9%的把握判定变量 A，B有关联．

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