专题25 圆锥曲线综合问题的解题策略（原卷版）

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专题 25 圆锥曲线综合问题的解题策略
[高考定位] 解析几何是高中数学的主要知识模块，是高考考查的重点知识之一．相关题目一般以解答题的
形式综合考查直线、圆、圆锥曲线等，难度较大，多作为压轴题出现．解答题的热点题型有：①直线与圆
锥曲线位置关系的判断；②圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；③轨迹方程及探索性问题的求解
定点与定值问题的求解策略
(1)解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线 y＝kx＋m(k存在的情形)，然后利用条件建立 k与m的
关系．借助于点斜式方程思想确定定点坐标．
(2)定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般化的证明或直接推证得出与参数无关的
数值．解此类试题时选择消元的方法非常关键．
解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，建立目标函数，然后利用
函数的有关知识和方法求解．
(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的取值范围求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系．
(3)利用隐含的不等关系求出参数的取值范围．
(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用函数值域的求法确定参数的取值范围．
探索性问题求解的思路及策略
(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．
(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论．
② 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
③ 当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
一、单选题
1．已知曲线
1
C
是以原点
O
为中心，
1
F
，
2
F
为焦点的椭圆，曲线
2
C
是以
O
为顶点､
2
F
为焦点的抛物线，
A
是曲线
1
C
与
2
C
的交点，且
为钝角，若
1
7
2
AF
，
2
5
2
AF
，则
1 2
F F
（ ）
A．
3
B．
6
C．2 D．4
1
2．已知椭圆
C
：
 
2 2
2 2
1 0
x y a b
a b
 
的左、右焦点分别为
1
F
，
2
F
.
2
F
也是抛物线
E
：
 
2
2 0y px p 
的焦点，点
A
为
C
与
E
的一个交点，且直线
1
AF
的倾斜角为
45
，则
C
的离心率为（
）
A．
5 1
2
B．
2 1
C．
3 5
D．
2 1
3．过曲线
2 2
12 2
: 1( 0, 0)
x y
C a b
a b
 
的左焦点
1
F
作曲线
2 2 2
2
:C x y a 
的切线，设切点为
,M
延长
1
F M
交曲线
2
3
: 2 ( 0)C y px p 
于点
,N
其中
1 3
,C C
有一个共同的焦点，若
1
0,MF MN 
              
则曲线
1
C
的
离心率为（ ）．
A．
5 1
2
B．
5
C．
2 1
2
D．
2
4．已知抛物线
22 ( 0)x py p 
的焦点 F是椭圆
2 2
2 2
1( 0)
y x a b
a b
 
的一个焦点，且该抛物线的准线与
椭圆相交于 A、B两点，若
FAB
是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
3
D．
3
2
5．设
1
e
，
2
e
分别为具有公共焦点
1
F
与
2
F
的椭圆和双曲线的离心率，
P
为两曲线的一个公共点，且满足
1 2
0PF PF
 
 
，则
2 2
1 2
1 1
e e
的值为（ ）
2
A．
1
2
B．1 C．2 D．4
6．已知双曲线
2
2
2
1 ( 0)
xy a
a 
的离心率为
2 3
3
，抛物线
2
2 ( 0)y px p 
的焦点与双曲线的右焦点
F
重合，其准线与双曲线交于点
 
, 0 , 2
M
M N y MF FQ 
              
，点
R
在
x
轴上.若
| | | |RN RQ
最大，则点
R
的坐
标为（ ）
A．
(6,0)
B．
(8,0)
C．
(9,0)
D．
(10,0)
7．已知双曲线
2
2
2
: 4 1( 0)
x
C y a
a  
的右顶点到其一条渐近线的距离等于
3
4
，抛物线
2
: 2E y px
的
焦点与双曲线
C
的右焦点重合，则抛物线
E
上的动点
M
到直线
1
: 4 3 6 0l x y  
和
2
: 1l x  
距离之和
的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．过抛物线
2
2 ( 0)y px p 
的焦点
F
作斜率为
k
的直线，与抛物线相交于点
A
、
B
两点，设直线
OA
、
OB
(
O
为坐标系原点)的斜率分别为
1
k
、
2
k
，则下列等式正确的是（ ）
9．已知抛物线
22y mx
与椭圆
 
2 2
2 2
1 0
x y a b
a b
 
有相同的焦点
F
，
P
是两曲线的公共点，若
5
6
m
PF
，则椭圆的离心率为（ ）
3
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