专题25 圆锥曲线综合问题的解题策略（解析版）

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专题 25 圆锥曲线综合问题的解题策略
[高考定位] 解析几何是高中数学的主要知识模块，是高考考查的重点知识之一．相关题目一般以解答题的
形式综合考查直线、圆、圆锥曲线等，难度较大，多作为压轴题出现．解答题的热点题型有：①直线与圆
锥曲线位置关系的判断；②圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；③轨迹方程及探索性问题的求解
定点与定值问题的求解策略
(1)解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线 y＝kx＋m(k存在的情形)，然后利用条件建立 k与m的
关系．借助于点斜式方程思想确定定点坐标．
(2)定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般化的证明或直接推证得出与参数无关的
数值．解此类试题时选择消元的方法非常关键．
解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，建立目标函数，然后利用
函数的有关知识和方法求解．
(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的取值范围求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系．
(3)利用隐含的不等关系求出参数的取值范围．
(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用函数值域的求法确定参数的取值范围．
探索性问题求解的思路及策略
(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．
(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论．
② 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
③ 当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
一、单选题
1．已知曲线
1
C
是以原点
O
为中心，
1
F
，
2
F
为焦点的椭圆，曲线
2
C
是以
O
为顶点､
2
F
为焦点的抛物线，
A
是曲线
1
C
与
2
C
的交点，且
为钝角，若
1
7
2
AF
，
2
5
2
AF
，则
1 2
F F
（ ）
A．
3
B．
6
C．2 D．4
【答案】C
【解析】不妨设
1
F
位于
x
轴负半轴,
2
F
位于
x
轴正半轴，
 
0 0
,A x y
位于第一象限，如图所示.
1
设抛物线的方程为
2
2 ( 0)y px p 
.作抛物线的准线
l
,则
l
过
1
F
,过
A
作
AD
垂直于准线
l
于点
D
,由抛物线
的定义可得
0 2
5
| | 2 2
p
AD x AF  
，所以
2 2
0
7 5 6
2 2
y   
 
   
   
.
因为点
A
在抛物线上，所以
2
0 0
2 6y px 
.由
0
0
2 6
5
2 2
px
p
x
 
得
0
2
3
2
p
x
或
0
3
1
p
x
.
又
为钝角，所以
2p
，所以
2
(1, 0)F
，即
1 2 2F F
.故选：C.
2．已知椭圆
C
：
 
2 2
2 2
1 0
x y a b
a b
 
的左、右焦点分别为
1
F
，
2
F
.
2
F
也是抛物线
E
：
 
2
2 0y px p 
的焦点，点
A
为
C
与
E
的一个交点，且直线
1
AF
的倾斜角为
45
，则
C
的离心率为（
）
A．
5 1
2
B．
2 1
C．
3 5
D．
2 1
【答案】B
【解析】由题意可得：c=
2
p
=
2 2
a b
直线 AF1的方程为 y=x+c．
联立
24
y x c
y cx
 
，
解得 x=c，y=2c．∴A（c，2c），代入椭圆方程可得：
2 2
2 2
41
c c
a b
 
，
∴
2 2
2 2 2
41
c c
a a c
 
，化为：e2+
2
2
4
1
e
e
=1，化为：e46e﹣2+1=0，解得 e2=3
2 2
，解得 e=
2
1﹣．
2
故答案为 B
3．过曲线
2 2
12 2
: 1( 0, 0)
x y
C a b
a b
 
的左焦点
1
F
作曲线
2 2 2
2
:C x y a 
的切线，设切点为
,M
延长
1
F M
交曲线
2
3
: 2 ( 0)C y px p 
于点
,N
其中
1 3
,C C
有一个共同的焦点，若
1
0,MF MN 
              
则曲线
1
C
的
离心率为（ ）．
A．
5 1
2
B．
5
C．
2 1
2
D．
2
【答案】A
【解析】设双曲线的右焦点为
2
F
，则
2
F
的坐标为
 
,0c
．
因为曲线
1
C
与
3
C
有一个共同的焦点，所以曲线
3
C
的方程为
24y cx
．
因为
1
0MF MN 
 
，所以
1
MF MN NM 
                           
，所以
M
为
1
F N
的中点，
因为 O为
1 2
F F
的中点，所以 OM 为
1 2
NF F
的中位线，所以 OM∥
2
NF
．
因为|OM|=a，所以
2
2NF a
．又
2 1
NF NF
，
1 2
2F F c
，所以
 
2 2
1
2 2 2NF c a b  
．
设N(x,y)，则由抛物线的定义可得
2x c a 
，所以
2x a c 
．
过点 F1作x轴的垂线，点 N到该垂线的距离为
2a
，在
1
Rt F PN
中，由勾股定理得
2 2 2
1 1
| | +| | | |F P PN F N
，
3
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