专题24 三角函数与解三角形大题解题模板（理）（解析版）

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专题 24 三角函数与解三角形大题解题模板
解三角形的的基本策略
1、 ，主要解决两类问题：(1) ， ；
(2)若 、 、 成等差数列，则 。
2、大边对大角，小边对小角，两边之和大于第三边，两边之差大于第三边。
3、 值一定正， 值可正可负但最多一个负，遇切化弦。
4、求角或边的比值，一般通过正弦定理把边化成角通过三角函数恒等变换求出。
5、求边或三角形面积，一般先通过余弦定理列出关于第三边的一元二次方程，通过解方程求出第三边，
然后通过正弦定理求三角形面积。
6、求范围：(1)先用正弦定理把边化成角，再用辅助角公式化一角一函数形式，注意角的范围；
(2)先用余弦定理把角化成边，再应用基本不等式及其重要变形，注意三角形是否有要求。
已知条件 应用定理 一般方法 解的情况
一边和两角 正弦定理 由 求第三角，由正弦定理求其它两边 一解
两边和夹角 余弦定理和
正弦定理
由余弦定理求第三边，由正弦定理求较小边对应的较小角，
由 求第三角 一解
三边 余弦定理 由余弦定理求两角，由 求第三角 一解
两边和其中
一边的对角
正弦定理或
余弦定理
① 由正弦定理求另一边的对角，由 求第三
角，利用正弦定理求第三边
② 由余弦定理列关于第三边的一元二次方程，根据一元二
次方程的解求 ，然后利用正弦定理或余弦定理求其它元
素
两解
一解
或无解
模板
例1．（10 分）在 中， 、 、 分别为内角 、 、 的对边，且 ，
(1)求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的面积。
审题路线图：(1)通过正弦定理把边全化为角 进行三角函数变换 求 的值；
(2)通过正弦定理形成关于边的方程 解出边长 应用正弦定理求三角形面积。
规范解答：
【解析】(1)在 中， ，
由正弦定理得 ， 2 分
即 ，∴ ，
又∵ ，∴ ， 4 分
∵，∴ ， ； 6 分
(2)在 中，由余弦定理可得 ，又 ， 8 分
∴有 ，即 ，∴ 。 10 分
1
构建答题模板：
第一步：通过正弦定理把边全化为角，注意 是否能约分。
第二步：进行三角函数变换，求角的正弦或余弦值，注意正负号的选取。
第三步：余弦定理列出关于第三边的一元二次方程，通过解方程求出第三边，然后通过正弦定理求三角形
面积。
第四步：反复回顾，注意正负值、范围选取等关键点及易错点，明确规范书写答题。
变式 1．（10 分） 中， 是 上的点， 平分 ， 。
(1)求 ；
(2)若 ，求 。
【解析】(1)由正弦定理得 ， ， 2 分
∵平分 ， ，∴ ； 4 分
(2)∵， ， 6 分
∴， 8 分
由(1)知 ，∴ ，即 。 10 分
变式 2．（12 分）已知在 中， 、 、 分别为角 、 、 所对的边，且
。
(1)求角 的值；
(2)若 ，则求 的取值范围。
【解析】(1)在 中， ，
， 1 分
利用正弦定理可得 ， 2 分
∴，
∴，即 ，又 ，
∴，∴ ； 5 分
(2)解法一：若 ，则由正弦定理可得： ， 6
分
∴
2
， 9 分
由于 ，∴ ， 10 分
∴，∴ 。 12 分
解法二：若 ，则由余弦定理可得： ， 7 分
则 ， ， 8 分
又∵ ，则 ， 9 分
即 ， ， 10 分
又两边之和大于第三边，则 ， 11 分
∴。 12 分
课后练习：
1．（12 分）在 中， ， 。
(1)求证： 是直角三角形；
(2)若点 在 边上，且 ，求 。
【解析】(1)在 中， ， ， ， 2 分
由余弦定理可知 ，故 ， 3 分
∴，即 ，∴ ，∴ 是直角三角形； 5
分
(2)设 ，则 ， ， ，
∴， 7 分
在 中， ， 8
分
， 10 分
∴由正弦定理得 ，∴ 。
12 分
2． （ 12 分 ） 已 知 在 中 ， 内 角 、 、 所 对 的 边 分 别 为 、 、 ， 且 满 足
。
3
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