专题24 定点定值的解题规律（解析版）

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专题 24 定点定值的解题规律

[高考定位] 解析几何是高中数学的主要知识模块，是高考考查的重点知识之一．相关题目一般以解答题的

形式综合考查直线、圆、圆锥曲线等，难度较大，多作为压轴题出现．解答题的热点题型有：①直线与圆

锥曲线位置关系的判断；②圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；③轨迹方程及探索性问题的求解

定点与定值问题的求解策略

(1)解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线 y＝kx＋m(k存在的情形)，然后利用条件建立 k与m的

关系．借助于点斜式方程思想确定定点坐标．

(2)定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般化的证明或直接推证得出与参数无关的

数值．解此类试题时选择消元的方法非常关键．

解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，建立目标函数，然后利用

函数的有关知识和方法求解．

(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围．

(2)利用已知参数的取值范围求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系．

(3)利用隐含的不等关系求出参数的取值范围．

(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．

(5)利用函数值域的求法确定参数的取值范围．

探索性问题求解的思路及策略

(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．

(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论．

② 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．

③ 当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．

【题型归纳】

一．直线过定点的解题方法

二．线段定值问题

三．与向量有关的定值

四．与椭圆有关的定点问题

五．定圆

六．面积定值

七．线段之比为定值

【方法总结】

一．直线过定点的解题方法

例1．已知过点，且与内切，设的圆心的轨迹为，

（1）求轨迹 C的方程；

（2）设直线不经过点且与曲线交于点两点，若直线与直线的斜率之积为，

判断直线是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．

【答案】（1）；（2）过定点．

【解析】（1）由题意过点，且与内切，

易知点，半径为，

设两圆切点为，

所以，在中，，

所以，所以 M的轨迹为椭圆，由椭圆定义可知，

所以，所以轨迹 C的方程为；

（2）①当的斜率不存在的时，设，所以，

所以，解得或（舍），

所以与轴的交点为；

②当的斜率存在时，设 l的方程为，

联立消元可得，

，所以，

由韦达定理，，

则

，

又因为，所以，即，

所以，所以成立，

所以，当时，，所以 l过，

综上所述，过定点 .

练习 1．已知点，分别在轴，轴上运动，，点在线段上，且 .

（1）求点的轨迹的方程；

（2）直线与交于，两点，，若直线，的斜率之和为 2，直线是否恒过定点？

若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

【答案】（1）（2）直线恒过定点

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