专题23二次函数与动点综合型问题（原卷版）【苏科版】

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2020 年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】

专题 23 二次函数与动点综合型问题

【方法指导】

动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成

的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题．本专题原创编写单动点形成的最值问题模拟题．

在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正

确的解题方法．

【题型剖析】

【类型 1】二次函数与单动点综合问题

【例 1】二次函数的图象交轴于点，两点，交轴于点．动点从点

出发，以每秒 2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于

点，连接，设运动的时间为秒．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接，当时，求的面积；

（3）在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标；

（4）当时，在直线上存在一点，使得，求点的坐标．

【变式训练】如图，已知抛物线与轴交于、两点，，交轴于点，对称轴

是直线．

（1）求抛物线的解析式及点的坐标；

（2）连接，是线段上一点，关于直线的对称点正好落在上，求点的坐标；

（3）动点从点出发，以每秒 2个单位长度的速度向点运动，过作轴的垂线交抛物线于点，

交线段于点．设运动时间为秒．

①若与相似，请直接写出的值；

②能否为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．

【类型 2】二次函数与双动点综合问题

【例 2】如图 1，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点从点出发，沿

以每秒 1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒 2个单位长度的速度向点

运动，当点与点重合时运动停止．设运动时间为秒．

（1）当时，线段的中点坐标为__________；

（2）当与相似时，求的值；

（3）当时，抛物线经过，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，如图 2所

示，问该抛物线上是否存在点，使？若存在，求出所有满足条件的的坐标；若不

存在，说明理由．

【变式训练】在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴交于

点，点在轴的负半轴上，且，有一动点从点出发，沿线段以每秒 1个单位长度

的速度向点移动，同时另一个动点从点出发，沿线段以某一速度向点移动．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若经过秒的移动，线段被垂直平分，求此时的值；

（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？若存在，求出点的坐标；若不存

在，请说明理由．

【类型 3】二次函数与线动、面动形成的综合问题

【例 3】如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且

．设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且．

①当点在线段（含端点）上运动时，求的变化范围；

②在①的条件下，当取最大值时，求点到线段的距离；

③在①的条件下，当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，

求的取值范围．

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