专题22二次函数与相似结合及存在型问题（原卷版）【苏科版】

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2020 年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】

专题 22 二次函数与相似结合及存在型问题

【方法指导】

1.三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的

公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构

造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的

方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．

2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为

特殊三角形；根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论；

② 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导

边的大小；

③ 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后

利用相似来列方程求解.

【题型剖析】

【例 1】如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线的表达

式为．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在直线上有一点，使的值最小，求点的坐标；

（3）在轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点

的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到新抛物线．若新

抛物线的顶点在内，求的取值范围；

（3）点为线段上一动点（点不与点，重合），过点作轴的垂线交（1）中的抛物线于点

，当与相似时，求的面积．

【例 2】如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，

其对称轴为直线．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若直线将的面积分成相等的两部分，求的值；

（3）点是该二次函数图象与轴的另一个交点，点是直线上位于轴下方的动点，点是第四

象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线右侧．若以点为直角顶点的与相似，求

点的坐标．

【变式训练】如图，抛物线与直线分别相交于，两点，且此抛物线与轴

的一个交点为，连接，．已知，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，并求出这个最大值；

（3）点为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使

得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，

请说明理由．

【例 3】已知抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；

（2）点是线段上一个动点．

①如图 1，设，当为何值时，？

②如图 2，以，，为顶点的三角形是否与相似？若相似，求出点的坐标；若不相似，请说

明理由．

【变式训练】如图，在直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，对称轴为

的抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接．

（1）直接写出点，点，点的坐标和抛物线的解析式；

（2）已知点为第一象限内抛物线上一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，

求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

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