专题22 巧解解析几何选填（原卷版）

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专题 22 巧解解析几何选填

[高考定位] 直线与圆的方程问题单独考查的概率较小，多作为条件结合圆锥曲线进行综合命题．直线和圆

的位置关系为高考命题的热点，需重点关注，相关试题的难度为中等偏下，多以选择题或填空题的形式出

现．

考点一　直线的方程及应用

[核心提炼]

1．直线方程的 5种形式

(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)．

(2)斜截式：y＝kx＋b.

(3)两点式：＝(x1≠x2，y1≠y2)．

(4)截距式：＋＝1(a≠0，b≠0)．

(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为 0)．

2．3种距离公式

(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：

|AB|＝.

(2)点到直线的距离：d＝[其中点 P(x0，y0)，直线方程：Ax＋By＋C＝0]．

(3)两平行直线间的距离：d＝(其中两平行线方程分别为 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．

3．两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线 l1，l2的斜率 k1，k2存在，则 l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程

中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．

[规律方法]　解决直线方程问题应注意的问题

(1)求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排

除两条直线重合的可能性．

(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x轴垂直．截距式方程不能表

示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．

(3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在．

考点二　圆的方程及其应用

[核心提炼]

1．圆的标准方程

当圆心为(a，b)，半径为 r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2＋

y2＝r2.

2．圆的一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中 D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．

[规律方法]　求圆的方程的两种方法

(1)直接法：利用圆的性质，直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出

圆的方程．

(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程．

其中待定系数法还常用来解决以下问题：

① 求函数解析式；②求数列的通项或前 n项和；③求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．

考点三　直线与圆、圆与圆的位置关系

[核心提炼]

1．直线与圆的位置关系的判断

(1)几何法：把圆心到直线的距离 d和半径 r的大小加以比较；d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．

(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，消元后得到一元二次方程，利用判别式 Δ来讨

论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．

2．圆与圆的位置关系的判断

(1)d＞r1＋r2⇔两圆外离．

(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切．

(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔两圆相交．

(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切．

(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．

[规律方法]　解决直线与圆、圆与圆位置关系的方法

(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运

算量．

(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的

最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆

心到圆心的距离问题．

椭圆、双曲线、抛物线

[高考定位] 圆锥曲线为高考考查的热点，题目设置一般为“一大一小”或“一大二小”的形式．小题多考

查圆锥曲线的标准方程与简单性质；解答题作为压轴题考查直线与圆锥曲线的位置关系、定点、定值、范

围和探索性问题，难度较大．

[规律方法]

求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．

(1)定型：指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．

(2)计算：利用待定系数法求出方程中的 a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，常设抛物线为 y2＝2ax

或x2＝2ay(a≠0)，常设椭圆为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且 m≠n)，常设双曲线为 mx2－ny2＝1(mn＞0)．

考点二　圆锥曲线的几何性质

[核心提炼]

1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系

(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为 e＝＝.

(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为

e＝＝ .

2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±x.注意离心率 e与渐近线的斜率的关系．

[规律方法]

圆锥曲线几何性质的应用

(1)分析圆锥曲线中 a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．

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