专题21二次函数与特殊四边形存在型问题（原卷版）【苏科版】

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2020 年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】
专题 21 二次函数与特殊四边形存在型问题
【方法指导】
【题型剖析】
【类型 1】二次函数与平行四边形存在型问题
已知抛物线 经过点 ， ，顶点为点 ，抛物线的对称轴与直线 交于
点 ．
（1）求直线 的解析式和抛物线的解析式．
（2）在抛物线上 ， 两点之间的部分（不包含 ， 两点），是否存在点 ，使得 ？若
存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点 在抛物线上，点 在 轴上，当以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形时，直接
写出满足条件的点 的坐标．
1
【变式训练】如图，抛物线 经过 轴上的点 和点 及 轴上的点 ，经过 、
两点的直线为 ．
①求抛物线的解析式．
②点 从 出发，在线段 上以每秒 1个单位的速度向 运动，同时点 从 出发，在线段 上以每
秒2个单位的速度向 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为 秒，求 为何
值时， 的面积最大并求出最大值．
③过点 作 于点 ，过抛物线上一动点 （不与点 、 重合）作直线 的平行线交直线
于点 ．若点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的横坐标．
【类型 2】二次函数与矩形存在型问题
3．如图，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，且 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 在抛物线上，且 ，求点 的坐标；
2
（3）抛物线上两点 ， ，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ．点 是抛物线上 ， 之间
的动点，过点 作 轴的平行线交 于点 ．
①求 的最大值；
②点 关于点 的对称点为 ，当 为何值时，四边形 为矩形．
【变式训练】如图，抛物线 的图象与 轴交于 、 两点（点 在点 的左边），与 轴
交于点 ，点 为抛物线的顶点．
（1）求点 、 、 的坐标；
（2）点 为线段 上一点（点 不与点 、 重合），过点 作 轴的垂线，与直线 交于点
，与抛物线交于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，可得矩形
．如图，点 在点 左边，试用含 的式子表示矩形 的周长；
（3）当矩形 的周长最大时， 的值是多少？并求出此时的 的面积；
（4）在（3）的条件下，当矩形 的周长最大时，连接 ，过抛物线上一点 作 轴的平行线，与
直线 交于点 （点 在点 的上方）．若 ，求点 的坐标．
【类型 3】二次函数与菱形存在型问题
【例 3】如图，在平面直角坐标系中， 的边 在 轴上， ，以 为顶点的抛物线
3
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