专题21 空间角及距离的解题技巧（解析版）

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专题 21 空间角及距离的解题技巧
[高考定位] 空间向量在立体几何中的应用主要体现在利用空间向量解决立体几何中的位置关系、空间角以
及空间距离的计算等问题，是每年高考的必考内容，并且以解答题的形式出现，其考查形式为一题多问、
多步设问，通常第一问考查空间位置关系，第二、三问考查空间角或距离，难度中等．利用空间向量求空
间角仍是重点，对于探索点或线满足所给关系的问题要引起重视．
考点一　利用空间向量证明平行与垂直
[核心提炼]
　设直线 l的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α，β的法向量分别为 μ＝(a2，b2，c2)，υ＝
(a3，b3，c3)，则有：
(1)线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行 α∥β⇔μ∥υ⇔μ＝λυ⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.
(4)面面垂直 α⊥β⇔μ⊥υ⇔μ·υ＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
[规律方法]
利用向量法证明平行与垂直的 4个步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用已知的垂直关系．
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题所涉及的点、直线、平面．
(3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系．
(4)根据运算结果解释相关问题．
考点二　利用空间向量求空间角
[核心提炼]　设直线 l，m的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面 α，β的法向量分别
为μ＝(a3，b3，c3)，υ＝(a4，b4，c4)(以下相同)．
(1)线线夹角设 l，m的夹角为 θ，则
cos θ＝＝ .
(2)线面夹角
1
设直线 l与平面 α的夹角为 θ，则 sin θ＝＝|cos〈a，μ〉|.
(3)面面夹角设平面 α，β的夹角为 θ，则|cos θ|＝＝|cos〈μ，υ〉|.
[规律方法]
异面直线所成的角的求法
(1)定义法：过空间中任一点，分别作异面直线的平行线，则这两条相交直线所成的锐角或直角等于异面直
线所成的角．定义法求解的实质就是将空间中异面直线所成的角转化为平面三角形的内角进行求解．
(2) 向量法：设异面直线 a，b的方向向量分别为 a，b，则异面直线 a，b所成的角的余弦值等于|
cos〈a，b〉|.
[规律方法] 　利用空间向量求线面角的注意事项
(1)先求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)的角度，再取其余角即为所求．
(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系 sin2θ＋cos2θ＝1求出其值，不要误以为直线的方向向量与
平面的法向量所夹角的余弦值即为所求．
利用空间向量求二面角的思路
二面角的大小可以通过分别在两个半平面内与公共棱垂直的直线的方向向量的夹角 (或其补角)或通过二面
角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角
利用空间向量巧解探索性问题
(1)对于存在型问题，解题时把要满足的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为
“是否有解”“是否有规定范围内的解”等．
(2)对于位置探索型问题，通常借助向量引入参数，综合条件和结论列方程，解出参数，从而确定位置.
【题型分类】
一．线面角的求法
二．二面角的求法
三．探索性问题的解法
四．距离问题的解题方法
【方法规律】
一．线面角的求法
例1．如图，在四棱锥
P ABCD
中，底面
ABCD
为直角梯形，其中
,AB BC AD
∥
, 4BC AD
，
2,AP AB BC E 
是
AD
的中点，
和
BE
交于点
O
，且
PO
平面
ABCD
．
2
（1）证明：平面
PAC
平面
PCD
；（2）求直线
AB
与平面
PCD
所成角的大小．
【答案】（1）见解析（2）
6
【解析】（1）因为
, 2 4,AD BC AD BC E ∥
是
AD
的中点，所以四边形
ABCE
是平行四边形，又
因为
,AB BC AB BC 
，所以四边形
ABCE
是正方形，所以
CE AD
；
又因为
2CE AE ED 
，所以
2 2AC CD 
， 又因为
4AD
，所以
2 2 2
AC CD AD 
，故
CD AC
因为
PO
平面
,ABCD CD
平面
ABCD
，所以
CD PO
；
又因为
, ,AC PO O AC PO ∩
平面
PAC
所以
CD
平面
PAC
因为
CD
平面
PCD
，所以平面
PAC
平面
PCD
．
（2）由（1）知
, ,PO AC BE
两两垂直，故以
O
为原点，
, ,OB OC OP
                            
的方向为
, ,x y z
轴的正方向建立空
间直角坐标系
O xyz
，由（1）知四棱锥
P ABCE
为正四棱锥，故
2, 2 2PC PA AC 
，所以
PAC
为等腰直角三角形，故
12
2
PO AC 
，则
( 2,0,0), (0, 2, 0), (0,0, 2), (0, 2,0), ( 2, 0,0)B A P C E 
，
所以
( 2, 2,0), (0, 2, 2), (2 2,0,0)AB PC DC EB  
                           
设平面
PCD
的法向量为
( , , )m x y z
，由
,m PC m DC 
              
 
，得
3
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