专题20 数列综合-2020年高考数学母题题源全揭秘（浙江专版）（解析版）

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专题 20 数列综合

【母题来源一】已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．

（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求 q与an的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．

【答案】（I）；（II）证明见解析.

【解析】【分析】（I）根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列

的通项公式.

（II）利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.

【详解】（I）依题意，而，即，由于，所以解得，

所以 .

所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以

所以（）.

所以

（II）依题意设，由于，

所以，

故

所以

由于，所以，所以 .

即， .

【名师点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.

【母题来源二】【2019 年高考浙江卷】设等差数列的前 n项和为，，，数列满

足：对每个成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记证明：

【答案】（1），；（2）证明见解析．

【解析】（1）设数列的公差为d，

由题意得，解得．

从而，所以，

由成等比数列得．

解得，所以．

（2）．

我们用数学归纳法证明．

（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；

（ii）假设时不等式成立，

即．

那么，当时，

．

即当时不等式也成立．

根据（i）和（ii），不等式对任意成立．

【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解

能力和综合应用能力．

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