专题20 平行垂直的解题规律（原卷版）

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专题 20 平行垂直的解题规律

[高考定位]高考对本讲内容以选择题、填空题的形式考查时，要求学生能利用平面的基本性质及线线、线

面和面面位置关系的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题；以解答题的形式考查时，多以棱柱

、棱锥、棱台或简单组合体为载体对线线、线面与面面平行和垂直的判定与性质进行考查，难度中等．

考点一　空间线面位置关系的判断

[核心提炼]

空间线面位置关系判断的常用方法

(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理解决．

(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进

行判断

[规律方法] 　判断空间线面位置关系应注意的问题

解决空间点、线、面位置关系的判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空

间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模

型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能引用到立体几何中．

[核心提炼]

1．直线、平面平行的判定及其性质

(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.

(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.

(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.

(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.

2．直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.

(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.

(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

[规律方法]　线面平行及线面垂直的证明方法

(1)要证线面平行，主要有两个途径：一是证已知直线与平面内的某直线平行；二是证过已知直线的平面与

已知平面平行．在这里，转化思想在平行关系上起着重要的作用，在寻求平行关系时，利用中位线、平行

四边形等是非常常见的方法．

(2)要证线面垂直，关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直，即线线垂直⇒线面垂直．结

合图形还要注意一些隐含的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直关

系等．

考点三　空间几何图形的翻折问题

[核心提炼]　解决与折叠有关的问题的两个关键

(1)要明确折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化．

(2)在解决问题时，要比较折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．

[规律方法]

立体几何中的翻折问题通常有一定的难度，在解题时，要注意翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有

发生变化．在本题中，原菱形 ABCD 的性质(即对角线互相垂直)要充分利用，还要通过计算，借助勾股定

理的逆定理证明垂直，这就要求必须弄清翻折前后线段之间的关系，这也是破解此题的关键．

【题型汇总】

一．线面垂直

二．线线垂直

三．线面垂直

四．面面垂直

五．线线平行

六．面面平行

七．平行中探索性问题

八．垂直中的探索

【方法规律示例】

一．线面垂直

例1.．如图，在四棱锥

S ABCD

中，

∥

CD BC CD，

，侧面

SAB

为等边三角形，

2AB BC 

，

1CD SD 

．

（1）证明：

SD 

平面

SAB

．（2）求点

到底面

ABCD

的距离．

练习 1．如图，四棱锥

P ABCD

中，底面

ABCD

是正方形，

PA 

底面

ABCD

（1）求证：

BD 

平面

PAC

；

（2）若

2, 2 3AB PA 

，求点

到平面

PCD

的距离.

练习 2．如图，矩形

ABCD

和菱形

ABEF

所在的平面相互垂直，

60AFE  

，

为

中点．

（Ⅰ）求证：

EG 

平面

DAF

；

（Ⅱ）若

3AB 

，

2BC 

，求多面体

BCE ADF

的体积．

二．线线垂直

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