专题20 平行垂直的解题规律（解析版）

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专题 20 平行垂直的解题规律
[高考定位]高考对本讲内容以选择题、填空题的形式考查时，要求学生能利用平面的基本性质及线线、线
面和面面位置关系的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题；以解答题的形式考查时，多以棱柱
、棱锥、棱台或简单组合体为载体对线线、线面与面面平行和垂直的判定与性质进行考查，难度中等．
考点一　空间线面位置关系的判断
[核心提炼]
空间线面位置关系判断的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理解决．
(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进
行判断
[规律方法] 　判断空间线面位置关系应注意的问题
解决空间点、线、面位置关系的判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空
间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模
型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能引用到立体几何中．
[核心提炼]
1．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
2．直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
[规律方法]　线面平行及线面垂直的证明方法
(1)要证线面平行，主要有两个途径：一是证已知直线与平面内的某直线平行；二是证过已知直线的平面与
已知平面平行．在这里，转化思想在平行关系上起着重要的作用，在寻求平行关系时，利用中位线、平行
四边形等是非常常见的方法．
1
(2)要证线面垂直，关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直，即线线垂直⇒线面垂直．结
合图形还要注意一些隐含的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直关
系等．
考点三　空间几何图形的翻折问题
[核心提炼]　解决与折叠有关的问题的两个关键
(1)要明确折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化．
(2)在解决问题时，要比较折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．
[规律方法]
立体几何中的翻折问题通常有一定的难度，在解题时，要注意翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有
发生变化．在本题中，原菱形 ABCD 的性质(即对角线互相垂直)要充分利用，还要通过计算，借助勾股定
理的逆定理证明垂直，这就要求必须弄清翻折前后线段之间的关系，这也是破解此题的关键．
【题型汇总】
一．线面垂直
二．线线垂直
三．线面垂直
四．面面垂直
五．线线平行
六．面面平行
七．平行中探索性问题
八．垂直中的探索
【方法规律示例】
一．线面垂直
例1.．如图，在四棱锥
S ABCD
中，
AB
∥
CD BC CD，
，侧面
SAB
为等边三角形，
2AB BC 
，
1CD SD 
．
（1）证明：
平面
SAB
．（2）求点
S
到底面
ABCD
的距离．
2
【答案】（1）见解析（2）
3
2
【解析】（1）如图，取
AB
的中点
E
，连接
,DE BD
，
则四边形
BCDE
为矩形，
2,DE CB  
2 2
5AD DE AE 
∴侧面
SAB
为等边三角形，
2,AB
2SA SB AB 
，且
3SE
，
又
1,SD Q
2 2 2 2 2 2
,SA SD AD SB SD BD    
, ,SD SA SD SB 
又
SA SB SI
SD 
平面
SAB
．
（2）设点
S
到底面
ABCD
的距离为
h
，即四棱锥
S ABCD
的高为
h
，则
h
也是三棱锥
S ABD
的高，
由（1）知，
平面
SAB
，由
S ABD D SAB
V V
 
，得
1 1 ,
3 3
ABD SAB
S h S SD 
△ △
SAB
ABD
S SD
hS
 
△
△
又
2 2
1 1 3 3
2 2 2, 2 3, 1
2 2 4 4
ABD SAB
S AB DE S AB SD  
△ △
，
3 1 3
2 2
SAB
ABD
S SD
hS
 
△
△
，故点
S
到底面
ABCD
的距离为
3
2
．
练习 1．如图，四棱锥
P ABCD
中，底面
ABCD
是正方形，
PA
底面
ABCD
.
3
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