专题20 构造模型、应用问题数学化（解析版）

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专题 20 构造模型、应用问题数学化
【压轴综述】
最近披露的高考信息已经明确，2020 年高考考查的重点为：
考向 1：基础性：强调基础扎实
高考关注主干内容，关注今后生活、学习和工作所必须具备、不可或缺的知识、能力
和素养，因此要求学生对这一部分内容的掌握扎实牢靠，只有根深方能叶茂.
考向 2：综合性：强调融会贯通
高考要求学生能够触类旁通、融会贯通，既包括同一层面、横向的融会贯通，也包括
不同层面之间的、纵向的融会贯通.
以必备知识为例，各个知识点之间不是割裂的，而是处于整个知识网络之中.必备知识
与关键能力、学科素养、核心价值之间紧密相连，形成具备内在逻辑联系的整体网络.
考向 3：应用性：强调学以致用
高考命题关注与国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活实际等紧密相关的内容.
避免考试和生活学习脱节，坚持应用导向，鼓励学生运用知识、能力和素养去解决实际问
题.
考向 4：创新性：强调创新意识和创新思维
高考关注与创新相关度高的能力和素养，比如独立思考能力、发散思维、逆向思维等；
考查学生敏锐发觉旧事物缺陷、捕捉新事物萌芽的能力；
考查学生进行新颖推测和设想并周密论证的能力；
考查学生探索新方法积极主动解决问题的能力，鼓励学生勇于摆脱思想的束缚，大胆
创新.
考向 5：2021 年命题如何体现基础性、综合性、应用性和创新性？
试卷中应包含一定比例的基础性试题，引导学生打牢知识基础；
试题之间、考点之间、学科之间相互关联，交织成网，对学生素质进行全面考查；
使用贴近时代、贴近社会、贴近生活的素材，鼓励学生理论联系实际，关心日常生活、
生产活动中蕴含的实际问题，体会课堂所学内容的应用价值；
合理创设情境，设置新颖的试题呈现方式和设问方式，促使学生主动思考，善于发现
新问题、找到新规律、得出新结论.
重点提示：高考数学的必备知识包括，预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、
数学建模活动与数学探究活动 5 个主题.高考数学将其整合，按逻辑体系将分散在必修课
1
程和选择性必修课程中相互衔接的内容组成有机的结构体系.在 2020 复习备考过程中，大
家一定要避免将高考评价体系中的考查要求与具体试题机械绑定.比如，新高考导向重点考
查学科核心素养，这一考查目标应该通过试卷的整体设计来实现，而不是机械地落实到某
一道试题或某一类试题上.
下面，围绕 2020 高考数学试题如何体现内容改革方向、2021 年命题趋势有哪些、备
考注意事项是什么，来为大家具体解读！
理科考生特别要注意，2021 年高考会越来越活，就拿 2020 年高考数学来说，算人的
身高，就是把数学考活用，今年高考更加会把高考知识点活用起来，比如用在建设方面，
高速或者高铁建设问题，在规划一条高铁时遇见一座山，让考生计算成本，看用打洞还是
高架，还是避开等，让成本最低.让考生去算.
对于物理，生物，化学，地理等学科来说，也会像数学一样越来越厉害多变，这样越
来考生只会刷题已经不能拿到高分，要懂得知识点的活用，考试中心命题老师提示，考生
要把高考的知识点梳理清楚，要知道什么是难点，什么是易错点，什么是失分点等，只要
把知识点梳理清楚那么这是也就很容易知道了，知识点也会活用了.知识点梳理好了再刷题，
这样错过的知识点不会考错第二次.
本专题精选高考及高三模拟题中的应用问题，梳理出应用问题的主要考向（不等式、
解三角形、数列、体积与面积、概率体积、解析几何、函数与导数等），引导师生精准复
习备考.
【压轴典例】
例 1
.
(2020·全国卷
Ⅱ
文科·T4 )理科·T3)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销
售业务,每天能完成 1 200 份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压
.
为解决困难,
许多志愿者踊跃报名参加配货工作
.
已知该超市某日积压 500 份订单未配货,预计第二天的
新订单超过 1 600 份的概率为 0
.
05
.
志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货,为使第二天完
成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0
.
95,则至少需要志愿者 (
　　
)
A.10 名 B.18 名 C.24 名 D.32 名
【解析】选 B.(1 600+500-1 200)÷50=18(名)
.
例 2.(2020·新高考全国
Ⅰ
卷)基本再生数
R
0与世代间隔
T
是新冠肺炎的流行病学基本参数,
基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间
.
在
新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:
I
(
t
)=e
rt
描述累计感染病例数
I
(
t
)随时间
t
(单位:
2
天)的变化规律,指数增长率
r
与
R
0,
T
近似满足
R
0=1+
rT.
有学者基于已有数据估计出
R
0=3
.
28,
T
=6
.
据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 1倍需要的时间约为(ln
2≈0
.
69) (
　　
)
A
.
1
.
2天 B
.
1
.
8 天 C
.
2
.
5天 D
.
3
.
5天
【解析】选 B
.
由题意知 3
.
28=1+6
r
,解得
r
=0
.
38,所以
I
(
t
)=e0
.
38
t
,因为
I
(
t
)=2
I
(0),所以
e0
.
38
t
=2,所以 0
.
38
t
=ln 2≈0
.
69,解得
t
≈1
.
8
.
例 3.(2020·全国卷
Ⅱ
理科·T12)0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用
.
若序列
a
1
a
2…
an
…满足
ai
∈{0,1}(
i
=1,2,…),且存在正整数
m
,使得
ai
+
m
=
ai
(
i
=1,2,…)成立,则称其为 0-1
周期序列,并称满足
ai
+
m
=
ai
(
i
=1,2,…)的最小正整数
m
为这个序列的周期
.
对于周期为
m
的
0-1序列
a
1
a
2…
an
…,
C
(
k
)=
aiai
+
k
(
k
=1,2,…,
m
-1)是描述其性质的重要指标,下列周期为
5 的 0-1序列中,满足
C
(
k
)≤ (
k
=1,2,3,4)的序列是(
　　
)
A.11010… B.11011… C.10001… D.11001…
【解析】选 C.由
ai
+
m
=
ai
知,序列
ai
的周期为
m
,由已知,
m
=5,
C
(
k
)=
aiai
+
k
(
k
=1,2,3,4),对
于选项 A,
C
(1)=
aiai
+1= (
a
1
a
2+
a
2
a
3+
a
3
a
4+
a
4
a
5+
a
5
a
6)= (1+0+0+0+0)= ≤ ,
C
(2)=
aiai
+2= (
a
1
a
3+
a
2
a
4+
a
3
a
5+
a
4
a
6+
a
5
a
7)= (0+1+0+1+0)= ,不满足;对于选项 B,
C
(1)=
aiai
+1= (
a
1
a
2+
a
2
a
3+
a
3
a
4+
a
4
a
5+
a
5
a
6)= (1+0+0+1+1)= ,不满足;对于选项 D,
C
(1)=
aiai
+1= (
a
1
a
2+
a
2
a
3+
a
3
a
4+
a
4
a
5+
a
5
a
6)= (1+0+0+0+1)= ,不满足
.
3
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