专题19有关几何最值存在型压轴问题（原卷版）【苏科版】

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2020 年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】

专题 19 有关几何最值存在型压轴问题

【方法指导】

本专题原创编写的是几何最值问题，涉及到的有三角形中的几何最值、四边形中的几何最值、圆中的

几何最值.在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分

类和选择正确的解题方法．中考中，此类问题常考的模型和借助的方法有：两点之间线段最短、垂线段最

短、将军饮马、胡不归模型、翻折、对称、点到圆的举例、函数最值等.

【题型剖析】

【类型 1】三角形中的几何最值问题

【例 1】如图，在△ABC 中，∠ABC＝60°，BC＝6，CD 是△ABC 的一条高线．若 E，F分别是 CD 和BC

上的动点，则 BE+EF 的最小值是（　　）

A．6 B．3 C．3 D．3

【变式 1-1】如图：等腰△ABC 的底边 BC 长为 6，面积是 18，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于

E，F点．若点 D为BC 边的中点，点 M为线段 EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10

【变式 1-2】如图所示，已知 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，D，E，F分别是三边 AB，BC，CA

上的点，则 DE+EF+FD 的最小值为（　　）

A．B．C．5 D．6

【变式 1-3】如图，∠AOB＝α，点 P是∠AOB 内的一定点，点 M、N分别在 OA、OB 上移动，当△PMN

的周长最小时，∠MPN 的值为（　　）

A．90°+αB．90° C．180°﹣αD．180°﹣2α

【类型 2】：四边形中的几何最值

【例 2】如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝3，动点 P满足 S△PAB S矩形 ABCD，则点 P到A、B两点距

离之和 PA+PB 的最小值为（　　）

A．2 B．2 C．3 D．

【变式 2-1】如图，在菱形 ABCD 中，AC＝6，BD＝6，E是BC 边的中点，P，M分别是 AC，AB 上的动

点，连接 PE，PM，则 PE+PM 的最小值是（　　）

A．6 B．3 C．2 D．4.5

【变式 2-2】在正方形 ABCD 中，点 E是BC 上的一定点，且 BE＝10，EC＝14，点 P是BD 上的一动点，

则PE+PC 的最小值是______________．

【变式 2-3】如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，点 P是矩形 ABCD 内一动点，且 S△PAB S△PCD，则

PC+PD 的最小值为________________．

【类型 3】：圆中的几何最值问题

【例 3】如图，在△ABC 中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，经过点 C且与边 AB 相切的动圆与 AC、CB 分别相

交于点 P，Q，则线段 PQ 长度的最小值是__________．

【变式 3-1】如图，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，点 E为AC 边上的一点（不与点 A重合），过 B，C，E

三点的圆与 AB 边交于点 D，连接 BE．设△ABC 的面积为 S，△BDE 的面积为 S1．

（1）当 BD＝2AD 时，求的值；

（2）设 AD＝x，y；

①求y与x的函数表达式，并写出自变量 x的取值范围；

②求函数 y的最大值．

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