专题19 以形助数“数题形解”（解析版）

专题 19 以形助数“数题形解”

【压轴综述】

1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可

以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，

数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规

范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确

地阐明曲线的几何性质．

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则

解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的

性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．

（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数

问题进行几何分析容易出错．

（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可

行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐

含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次

曲线．

3．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题

时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速

度．具体操作时，应注意以下几点：

（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；

（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值

得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，

以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；

（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的

计算和推理论证．

本专题通过例题重点说明说明“以形助数，数题形解”这类问题的方法与技巧.

【压轴典例】

例1.(2020·天津高考·T9)已知函数

f

(

x

)= 若函数

g

(

x

)=

f

(

x

)- (

k

∈R)恰

有4个零点,则

k

的取值范围是 (

)

A

.

(-∞,- )∪(2 ,+∞) B

.

(-∞,- )∪(0,2 )

C

.

(-∞,0)∪(0,2 ) D

.

(-∞,0)∪(2 ,+∞)

1

【解析】选 D

.

注意到

g

(0)=0,所以要使

g

(

x

)恰有 4个零点,只需方程|

kx

-2|= (

x

≠0)恰有

3个实根即可,令

h

(

x

)= ,即

y

=|

kx

-2|与

h

(

x

)= (

x

≠0)的图象有 3个不同的交点

.

因为

h

(

x

)= = 当

k

=0 时,此时

y

=2,如图 1,

y

=2 与

h

(

x

)= 有1个交点,不满足题意;

当

k

<0 时,如图 2,此时

y

=|

kx

-2|与

h

(

x

)= 恒有3个不同的交点,满足题意;

当

k

>0 时,如图 3,当

y

=

kx

-2 与

y

=

x

2相切时,联立方程得

x

2-

kx

+2=0,

令

Δ

=0 得

k

2-8=0,解得

k

=2 (负值舍去),所以

k

>2

.

综上,

k

的取值范围为(-∞,0)∪(2

2

,+∞)

.

例2.(2020·全国卷

Ⅲ

文科·T6)在平面内,

A

,

B

是两个定点,

C

是动点

.

若 · =1,则点

C

的轨迹为(

)

A.圆 B.椭圆 C.抛物线D.直线

【解析】选 A

.

设

AB

=2

a

,以

AB

中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,

则:

A

,

B

,设

C

,可得: = , = ,

从而: · = +

y

2,结合题意可得: +

y

2=1,整理可得:

x

2+

y

2=

a

2+1,

即点

C

的轨迹是以

AB

中点为圆心, 为半径的圆

.

例3.(2020·新高考全国

Ⅰ

卷)已知

P

是边长为2的正六边形

ABCDEF

内的一点,则·

的取值范围是 (

)

A

.

(-2,6) B

.

(-6,2) C

.

(-2,4) D

.

(-4,6)

【解析】选 A

.

设

P

(

x

,

y

),建立如图所示的平面直角坐标系,则

A

(0,0),

B

(2,0),

=(

x

,

y

), =(2,0),所以· =2

x

,由题意可得点

C

的横坐标为3,点

F

的横坐标

为-1,所以-1<

x

<3,所以-2< · <6

.

例4．（2021·陕西西安市西光中学）已知点在抛物线上，是抛物线的焦

3

专题19 以形助数“数题形解”（解析版）

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