专题17 立体几何中的最值问题（原卷版）

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专题 17 立体几何中的最值问题

【压轴综述】

在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与

垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题．在涉及最

值的问题中主要有三类，一是距离（长度）的最值问题；二是面（体）积的最值问题；三

是在最值已知的条件下，确定参数（其它几何量）的值.从解答思路看，有几何法（利用几

何特征）和代数法(应用函数思想、应用基本不等式等)两种，都需要我们正确揭示空间图

形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换．要善于将空间问题转化

为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，

有关计算公式熟练掌握.

一、涉及几何体切接问题最值计算

求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切

点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，

切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶

点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面

图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．这样才能进

一步将空间问题转化为平面内的问题；

二.涉及角的计算最值问题

1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、

向量法等，依据题目选择方法求出结果．

2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线．二定角,根据异面直

线所成角的定义找出所成角．三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．

四结论．

3.线面角的计算：（1）利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----

二证----三计算”.

（2）利用向量法求线面角的方法

(i 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其

补角)；

(ii)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取

其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.

下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.

【压轴典例】

例 1.(2020·全国卷

Ⅲ

理科·T15)已知圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则该圆锥内半径最

大的球的体积为

　　　　.ý

例2．（2021·浙江高三月考）已知正方体的棱长为 1，点，分别

为线段，上的动点，点在平面内，则的最小值是（）

A．B．C．D．

例3．（2020·陕西西安一中）如图，正方体的棱长为，点 O为底面

ABCD 的中心，点 P在侧面的边界及其内部运动.若，且面积

的最大值为，则 a的值为（）

A．1 B．3 C．D．2

例4．（2021·河南高三月考）《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面

为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马 (如图)，平面 .

，，点，分别在，上，当空间四边形的周长最

小时，三棱锥外接球的表面积为（）

A．B．C．D．

例5．（2021·山东高三）四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为

矩形，，，点是棱的中点，顶点在底面的射影为，则

下列结论正确的是（）

A．棱上存在点使得面

B．当落在上时，的取值范围是

C．当落在上时，四棱锥的体积最大值是 2

D．存在的值使得点到面的距离为

例6．（2020·浙江高三其他模拟）空间中 13 个不同的点构成的集合

，满足当时，都是正四面体.对

于任意平面，的最大值是（）

A．9 B．10 C．11 D．12

例7．（2021·湖北高三月考）如图，在棱长为 6的正方体

1 1 1 1

ABCD A B C D

中，

为棱

上一点，且

2,DE F

为棱

1 1

C D

的中点，点

是线段

上的动点，则（）

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