专题17 立体几何中的最值问题（解析版）

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专题 17 立体几何中的最值问题
【压轴综述】
在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与
垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题．在涉及最
值的问题中主要有三类，一是距离（长度）的最值问题；二是面（体）积的最值问题；三
是在最值已知的条件下，确定参数（其它几何量）的值.从解答思路看，有几何法（利用几
何特征）和代数法(应用函数思想、应用基本不等式等)两种，都需要我们正确揭示空间图
形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换．要善于将空间问题转化
为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，
有关计算公式熟练掌握.
一、涉及几何体切接问题最值计算
求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切
点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，
切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶
点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面
图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．这样才能进
一步将空间问题转化为平面内的问题；
二.涉及角的计算最值问题
1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、
向量法等，依据题目选择方法求出结果．
2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线．二定角,根据异面直
线所成角的定义找出所成角．三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．
四结论．
3.线面角的计算：（1）利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----
二证----三计算”.
（2）利用向量法求线面角的方法
(i 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其
补角)；
(ii)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取
其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.
下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.
【压轴典例】
例 1.(2020·全国卷
Ⅲ
理科·T15)已知圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则该圆锥内半径最
大的球的体积为
　　　　.ý
【解析】方法一:易知半径最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,
1
其中
BC
=2,
AB
=
AC
=3,且点
M
为
BC
边上的中点,设内切圆的圆心为
O
,由于
AM
= =2 ,
故
S
△
ABC
= ×2×2=2 ,设内切圆半径为
r
,
则
S
△
ABC
=
S
△
AOB
+
S
△
BOC
+
S
△
AOC
= ×
AB
×
r
+ ×
BC
×
r
+ ×
AC
×
r
= × ×
r
=2 ,解得
r
=,
其体积:
V
= π
r
3= π
.
方法二:分析知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球,如图,由题可知圆锥的母线长为
BS
=3,底面半径为
BC
=1,高
SC
= =2 ,不妨设该内切圆与母线
BS
切于
D
点,令
OD
=
OC
=
r
,则由△
SOD
∽△
SBC
,可得 = ,即 =,得
r
=,此时
V
= π
r
3= π
.
例2．（2021·浙江高三月考）已知正方体 的棱长为 1，点 ， 分别
为线段， 上的动点，点 在平面 内，则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
2
【详解】 点关于 的对称点为 ， 关于 的对称点为 ，记为直线 与
之间的距离，则 ，由， 为 到平面
的距离，因为 ，
而，故，
例3．（2020·陕西西安一中）如图，正方体 的棱长为 ，点 O为底面
ABCD 的中心，点 P在侧面 的边界及其内部运动.若，且面积
的最大值为 ，则 a的值为（ ）
A．1 B．3 C．D．2
【答案】D
3
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