专题17 二次函数的面积问题（原卷版）

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2021

中考数学压轴题全揭秘精品

专题 17 二次函数的面积问题

【考点 1】二次函数的线段最值问题

【例 1】（2020·湖北荆门·中考真题）如图，抛物线与 x轴正半轴交于点 A，与 y

轴交于点 B．

（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；

（2）如图 1，点 P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点 P作轴，垂足为 C，交

于点 D，求的最大值，并求出此时点 P的坐标；

（3）如图 2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于 M，N

两点，若点 A是线段的中点，求抛物线的解析式．

【变式 1-1】（2020·前郭尔罗斯蒙古族自治县哈拉毛都镇蒙古族中学九年级期中）如图，二次函数

的图象交 x轴于点，，交 y轴于点 C．点是 x轴上的一动点，

轴，交直线于点 M，交抛物线于点 N．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）①若点 P仅在线段上运动，如图 1．求线段的最大值；

②若点P在x轴上运动，则在 y轴上是否存在点 Q，使以 M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，

请直接写出所有满足条件的点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式 1-2】如图 1，已知抛物线 y= x﹣2+mx+m 2﹣的顶点为 A，且经过点 B（3，﹣3）．

（1）求顶点 A的坐标

（2）若 P是抛物线上且位于直线 OB 上方的一个动点，求△OPB 的面积的最大值及比时点 P的坐标；

（3）如图 2，将原抛物线沿射线 OA 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 OA 交于 C，D两点，

请问：在抛物线平移的过程中，线段 CD 的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理

由．

【考点 2】二次函数的面积定值问题

【例 2】已知二次函数．

（1）图象经过点时，则 _________；

（2）当时，函数值 y随x的增大而减小，求 m的取值范围；

（3）以抛物线的顶点 A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（M，N两点

在抛物线上），请问：的面积是与 m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理

由．

【变式 2-1】（2020·湖南九年级其他模拟）若抛物线 L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线

l：y＝ax+b满足 a2+b2＝2a（2c﹣b），则称此直线 l与该抛物线 L具有“支干”关系．此时，直线 l叫做抛

物线 L的“支线”，抛物线 L叫做直线 l的“干线”．

（1）若直线 y＝x﹣2与抛物线 y＝ax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值；

（2）若抛物线 y＝x2+bx+c的“支线”与 y＝﹣ 的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；

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