专题16 秒杀数列选题技法（解析版）

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专题 16 秒杀数列选题技法
[高考定位] 高考对等差、等比数列基本运算的考查常以客观题的形式出现，要求会利用通项公式、前 n项
和公式建立方程组求解，属于低档题；对等差、等比数列性质的考查主要以客观题的形式出现，具有“新
、巧、活”的特点，要求会利用数列性质解决有关计算问题，属中低档题；对等差、等比数列的判断与证
明的考查主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节．
考点一　等差、等比数列的基本运算
[核心提炼]
1．等差数列的通项公式及前 n项和公式
an＝a1＋(n－1)d；Sn＝＝na1＋d.
2．等比数列的通项公式及前 n项和公式
an＝a1qn－1(q≠0)；Sn＝＝(q≠1)．
[规律方法　等差(比)数列基本运算的解题思路
(1)设基本量 a1和公差 d(公比 q)．
(2)列、解方程组：把条件转化为关于 a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量
考点二　等差、等比数列的性质
[核心提炼]
1.等差数列的性质
(1)若m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq.
(2)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列．
(3)am－an＝(m－n)d⇔d＝(m，n∈N*)．
(4)＝(A2n－1，B2n－1分别为{an}，{bn}的前 2n－1项的和)．
2．等比数列的性质
(1)若m，n，r，s∈N*，且 m＋n＝r＋s，则 am·an＝aras.
(2)an＝amqn－m.
(3)当{an}的公比 q≠－1(或q＝－1且m为奇数)时，数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等比数列.
[规律方法]
应用数列性质解题的方法
(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质
进行求解．
(2) 应 牢 固 掌 握 等 差 、 等 比 数 列 的 性 质 ， 特 别 是 等 差 数 列 中 “ 若 m＋n＝p＋q， 则 am＋an＝ap＋
aq(m，n，p，q∈N*)”这一性质与求和公式 Sn＝的综合应用．
1
考点三　等差、等比数列的判断与证明
[核心提炼]
1．证明数列{an}是等差数列的两种基本方法
(1)利用定义证明 an＋1－an(n∈N*)为一常数．
(2)利用等差中项，即证明 2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．
2．证明数列{an}是等比数列的两种基本方法
(1)利用定义证明(n∈N*)为一不为零的常数．
(2)利用等比中项，即证明 a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)．
[规律方法]
判断或证明一个数列是等差、等比数列时应注意的问题
(1)判断一个数列是等差(等比)数列，还可借助通项公式及前 n项和公式，但不能将其作为证明方法．
(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需找到连续 3项不成等差(等比)数列即可．
(3)a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要而不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，
要注意各项不为 0.
【题型汇总】
一．等差等比数列基本量运算
二．转化法在数列中应用
三．数列与函数的综合
四．等差数列求和性质的灵活应用
五．裂项求和的灵活应用
六．数列的单调性应用
七．数列的周期性应用
八．组项求和法
九．分奇偶求解
十．找规律
【方法总结示例】
一．等差等比数列基本量运算
例1. 在等差数列 中，前五项之和为 30，最后五项之和为 70，前 n项之和是 110，则项数 n为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】由题意前五项之和为 30，最后五项之和为 70，
2
由等差数列的性质及倒序相加法可得 ，
∴ ，
∵前 n项之和是 ，解得 .
故选：C.
练习 1. 记 为等比数列 的前 项和.若 ， ，则 （ ）
A．2 B．-4 C．2或-4 D．4
【答案】B
【解析】∵ 为等比数列 的前 项和，
， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，故选 B．
练习 2. 等差数列 中， 为它的前 项和，若 ， ， ，则当 （ ）时， 最
大.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】等差数列 中，前 项和为 ，且 ， ，
即 ， ，
，所以， ，则 ，
因此，当 时， 最大.
3
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