专题16 二次函数的存在性问题（原卷版）

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2021

中考数学压轴题全揭秘精品

专题 16 二次函数的存在性问题

【考点 1】二次函数与相似三角形问题

【例 1】（2020·湖北随州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直

线，其图象与轴交于点和点，与轴交于点．

（1）直接写出抛物线的解析式和的度数；

（2）动点，同时从点出发，点以每秒 3个单位的速度在线段上运动，点以每秒个

单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为

秒，连接，再将线段绕点顺时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落

在抛物线上，求的值及此时点的坐标；

（3）在（2）的条件下，设为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以点，，为顶点的三角

形与相似时，请直接写出点及其对应的点的坐标．（每写出一组正确的结果得 1分，至多得

4分）

【变式 1-1】（2019·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与 x轴交于点，点

，与 y轴交于点 C，且过点．点 P、Q是抛物线上的动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点 P在直线 OD 下方时，求面积的最大值．

(3)直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当与相似时，求点 Q的坐标．

【变式 1-2】（2019·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过点

A（﹣1，0）和点 C（0，4），交 x轴正半轴于点 B，连接 AC，点 E是线段 OB 上一动点（不与点 O，B

重合），以 OE 为边在 x轴上方作正方形 OEFG，连接 FB，将线段 FB 绕点 F逆时针旋转 90°，得到线段

FP，过点 P作PH∥y轴，PH 交抛物线于点 H，设点 E（a，0）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若△AOC 与△FEB 相似，求 a的值．

（3）当 PH＝2时，求点 P的坐标．

【考点 2】二次函数与直角三角形问题

【例 2】（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与 x轴交于点

A，与 y轴交于点 B，抛物线过点 B且与直线相交于另一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 P是抛物线上的一动点，当时，求点 P的坐标；

（3）点在 x轴的正半轴上，点是 y轴正半轴上的一动点，且满足

．

①求m与n之间的函数关系式；

②当m在什么范围时，符合条件的 N点的个数有 2个？

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