专题15 运用空间向量研究立体几何问题（原卷版）

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专题 15 运用空间向量研究立体几何问题

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】在长方体中，，，则异面直线

与所成角的余弦值为

A．B．

C．D．

2、【2020 年高考天津】如图，在三棱柱中，平面，

，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

3、【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E在棱 AA1上，

BE⊥EC1．

（1）证明：BE⊥平面 EB1C1；

（2）若 AE=A1E，求二面角 B–EC–C1的正弦值．

4、【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】如图，边长为 2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，

是上异于，的点．

（1）证明：平面平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

【问题探究，变式训练】

题型一、运用向量研究线面角

例1、【2020 年高考全国Ⅱ卷理数】如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C是矩

形，M，N分别为 BC，B1C1的中点，P为AM 上一点，过 B1C1和P的平面交 AB 于E，交 AC 于F．

（1）证明：AA1∥MN，且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F；

（2）设 O为△A1B1C1的中心，若 AO∥平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E与平面 A1AMN 所成角的

正弦值．

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