专题15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题（原卷版）

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专题 15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题
【压轴综述】
纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，出现一些与其它知识交汇的题目，
如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解此类问题的方
法规律.
一、与平面向量交汇问题主要体现在以下两个方面：一是用向量的数量积解决有关角的问
题；
二是用向量的坐标表示解决共线问题．
(1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式
a
＝(
x
1，
y
1)，
b
＝
(
x
2，
y
2)，再用向量数量积的坐标公式 cos
θ
＝求角．
(2)当
a
，
b
不共线时，有〈
a
，
b
〉为：直角⇔
a
·
b
＝0；钝角⇔
a
·
b
<0(且
a
，
b
不反向)；锐
角⇔
a
·
b
>0(且
a
，
b
不同向)．
(3)解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键．
二、在涉及最值、范围问题时，往往与不等式、函数、导数等相结合.基本解题思路是构建
不等式，创造应用基本不等式的条件；构建函数关系，应用导数研究函数的单调性、极
（最）值等.
【压轴典例】
例1．（2020·上海高三专题练习）设 ， 为曲线 的焦点， 是曲线
与 的一个交点，则 的值为( )
A．B．C．D．
例2．（2020·江苏南京市·高三）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的
另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的光线等效于从另一个焦点
射出.如图，一个光学装置由有公共焦点 的椭圆 Γ与双曲线 构成，现一光线从左焦
点 发出，依次经过 与 Γ反射，又回到了点 历时 秒；若将装置中的 去掉，此光
1
线从点 发出，经 Γ两次反射后又回到了点 历时 秒；若 则 Γ与 的离心率之
比为（ ）
A．B．1：2 C．2：3 D．3：4
例3.（2020 浙江温州中学高三）设点
M
是长方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
的棱
AD
的中点，
1
4AA AD 
，
5AB
，点
P
在面
1 1
BCC B
上，若平面
分别与平面
ABCD
和平
面
1 1
BCC B
所成的锐二面角相等，则
P
点的轨迹为（ ）
A.椭圆的一部分 B.抛物线的一部分 C.一条线段 D.一段圆弧
例4.（2020·广州市天河中学）(多选)已知椭圆 ，双曲线
若双曲线 N的两条渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为
一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ）
参考数据（ ）
2
A．椭圆的离心率
B．双曲线的离心率
C．椭圆上不存在点 A使得
D．双曲线上存在不同的四个点 Bi(i=1,2,3,4),使得
例5.（2020·四川石室中学高三）设双曲线 的左，右顶点为
是双曲线上不同于 的一点，设直线 的斜率分别为 ，则当
取得最小值时，双曲线 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
例6．（2020·全国高三专题练习）已知点 P在曲线 C： 上，曲线 C在点 P处的切
线为 ，过点 P且与直线 垂直的直线与曲线 C的另一交点为 Q，O为坐标原点，若
OP OQ⊥，则点 P的纵坐标为_______．
例7．（2020·上海浦东新区·高三）已知椭圆 ， 、 为 的左、右焦点.
（1）求椭圆 的焦距；
（2）点 为椭圆 一点，与 平行的直线 与椭圆 交于两点 A
、
B，若
面积为 ，求直线 的方程；
3
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