专题15 如何解高考中的三角形题（原卷版）

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专题 15 如何解高考中的三角形题

正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用

[核心提炼]

1．正弦定理及其变形

在△ABC 中，＝＝＝2R(R为△ABC 的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin

B∶sin C等．

2．余弦定理及其变形

在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A；

变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.

[规律方法]

解三角形的一般方法

(1)已知两角和一边，如已知 B和c，由 A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求 a，b.

(2)已知两边和这两边的夹角，如已知 a，b和C，应先用正弦定理求 c，再应用正弦定理求较短边所对的角

，然后利用 A＋B＋C＝π求另一角．

(3)已知两边和其中一边的对角，如已知 a，b和A，应先用正弦定理求 B，再由 A＋B＋C＝π求C，然后由

正弦定理或余弦定理求 c，要注意解可能有多种情况．

(4)已知三边 a，b，c，可应用余弦定理求 A，B，C.

解三角形的实际应用

[核心提炼]

解三角形应用题的常考类型

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，这时可用正弦定理或余弦定理求解

(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未适量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解

够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程 (组)，解方程(

组)得出所要求的解．

[规律方法]

解三角形的实际问题的 4个求解步骤

(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语、如坡度、仰角、俯角

、方位角等．

(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出．

(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．

(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．

解三角形的创新交汇问题

[核心提炼]

相关题目常将三角恒等变换、正弦定理、余弦定理与三角函数、向量、不等式等相结合进行考查，且 3种

题型均可能出现．

[规律方法]

与解三角形有关的交汇问题的求解要点

(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化．

(2)结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式．

【题型汇总】

一．三角形判断

二．正余弦定理的灵活应用

三．三角形面积问题

四．三角形与向量的综合

五．三角形的角平分线

六．多个三角形的解题方法

七．三角形的中线问题

八．三角形中的范围问题

九．三角形实际应用

【方法总结】

一．三角形判断

例1.在△ 中，角 A、B、C的对边分别是 a、b、c，且，则△ 的形状一定是（）

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形

练习 1. ．设在中,角所对的边分别为 , 若, 则的形

状为（）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

练习 2. ．△ABC 中, 如果 , 那么△ABC 是（）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰直角三角形 D．钝角三角形

二．正余弦定理的灵活应用

例2. 如图，在中，是边上的点，且，，，则的

值为（）

A．B．C．D．

练习 1. 在中,，在边上,且,则( )

A．B．C．5 D．

练习 2. ．在中，角，，所对的边分别为，，，，

（1）求证：；

（2）若，的外接圆面积为，求的周长．

三．三角形面积问题

例3. 已知为的三个内角的对边，，的面积为 2，则的最小值为

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