专题15 排列组合与二项式定理（教案）-2021届沪教版高考数学一轮复习（上海专用）

3.0 envi 2025-04-11 9 4 885.49KB 16 页 3知币

侵权投诉

2021 届高考数学一轮复习专题 15

排列组合与二项式定理教案

一、排列组合

知识梳理

1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有 m1 种有不

同的方法，在第 2类中有 m2 种不同的方法……在第 n类型有 m3 种不同的方法，那么

完成这件事共有种不同的方法。

2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成 n个步骤，做第 1步有 m1 种

不同的方法，做第 2步有 m2 种不同的方法……，做第 n步有 mn 种不同的方法；那么

完成这件事共有种不同的方法。

特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列

性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用

这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。

3．排列：从 n个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n

个不同元素中取出 m个元素的一个排列.

4．排列数：从 n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列，称为从 n个不同元素中

取出 m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列数，用符号

表示.

5．排列数公式：

特别提醒：

（1）规定 0! = 1

（2）含有可重元素的排列问题.

对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S有k个不同元素 a1，a2,…...an 其中限

重复数为 n1、n2……nk，且 n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于 .

例如：已知数字 3、2、2，求其排列个数又例如：数字 5、5、5、求其排列

个数？其排列个数 .

6．组合：从 n个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中

取出 m个元素的一个组合.

7．组合数公式： 

8．两个公式：① ②

特别提醒：排列与组合的联系与区别.

联系：都是从 n个不同元素中取出 m个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.

典型例题

考点一:排列问题

例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

　（1）甲不站两端；

　（2）甲、乙必须相邻；

　（3）甲、乙不相邻；

　（4）甲、乙之间间隔两人；

　（5）甲、乙站在两端；

　（6）甲不站左端，乙不站右端.

【答案】见解析

【解析】

（1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4个位置上任选 1个，有种站法，

然后其余 5人在另外 5个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理，共有

站法：

方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余 5个人中选 2个人站，有种站法，

然后中间 4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：

方法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法，从总数中减

去这两种情况的排列数，即共有站法：

（2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余 4人进行全排列有

种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有

方法二：先把甲、乙以外的 4个人作全排列，有种站法，再在 5个空档中选出一个

供甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有

（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的 4个

人站队，有种站法；第二步再将甲、乙排在 4人形成的 5个空档（含两端）中，有

种站法，故共有站法为

也可用“间接法”，6个人全排列有种站法，由（2）知甲、乙相邻有种站

法，所以不相邻的站法有 .

（4）方法一：先将甲、乙以外的 4个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入

站队，有种，故共有站法.

方法二：先从甲、乙以外的 4个人中任选 2人排在甲、乙之间的两个位置上，有种，

然后把甲、乙及中间 2人看作一个“大”元素与余下 2人作全排列有种方法，最后对甲、

乙进行排列，有种方法，故共有站法.

（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种，再让其他 4人在中间位

置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理，共有站法.

方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间 4个位

置，由剩下的 4人去站，有种站法，由分步乘法计数原理共有站法.

（6）方法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，且甲在左端而乙在

右端的站法有 A种，共有站法.

方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有种站法，②甲在中间 4个位置之

一，而乙不在右端有种，故共有站法.

考点二:组合问题

例2. 男运动员 6名，女运动员 4名，其中男女队长各 1人.选派 5人外出比赛.在下列情

形中各有多少种选派方法？

　（1）男运动员 3名，女运动员 2名；

　（2）至少有 1名女运动员；

　（3）队长中至少有 1人参加；

　（4）既要有队长，又要有女运动员.

【答案】见解析

【解析】（1）第一步：选 3名男运动员，有种选法.

　第二步：选 2名女运动员，有种选法.

　共有种选法.

（2）方法一 至少 1名女运动员包括以下几种情况：

　1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.

　由分类加法计数原理可得总选法数为

　　方法二 “至少 1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.

　从 10 人中任选 5人有种选法，其中全是男运动员的选法有种.

　所以“至少有 1名女运动员”的选法为 .

（3）方法一：可分类求解：

　“只有男队长”的选法为；

　“只有女队长”的选法为；

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

专题15 排列组合与二项式定理（教案）-2021届沪教版高考数学一轮复习（上海专用）.doc

共16页,预览5页

还剩页未读，继续阅读

专题15 排列组合与二项式定理（教案）-2021届沪教版高考数学一轮复习（上海专用）

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: