专题14 圆的切线有关证明问题（原卷版）【苏科版】

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2020 年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】
专题 14 圆的切线有关证明问题
【方法指导】
1. 判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为 r，圆心 O到直线 l的距离为 d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
2. 切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③ 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆
心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
3.切线的判定：
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
① 切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
② 切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③ 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线
的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确
指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交
点，作半径，证垂直”．
4.切线长定理：
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切
线的夹角．切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两
个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（3）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些
证明求解问题中经常用到．
5.三角形的内切圆和内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做
圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平
分这个内角．
【题型剖析】
【类型 1】直线和圆的位置关系
【例 1】（2019 秋•邗江区校级期中）直线 l与半径为 r的⊙O相交，且点 O到直线 l的距离为 3，则 r的取
值范围是（　　）
1
A．r＜3 B．r＝3 C．r＞3 D．r≥3
【变式 1-1】（2018•常州模拟）半径为 10 的⊙O和直线 l上一点 A，且 OA＝10，则直线 l与⊙O的位置关
系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
【变式 1-2】（2019•宜兴市一模）如图，在直角△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是
AC、BC 上的一点，且 DE＝3．若以 DE 为直径的圆与斜边 AB 相交于 M、N，则 MN 的最大值为（
　）
A．B．2 C．D．
【类型 2】切线的性质问题
【例 2】（2019•宿豫区模拟）如图，△ABC 是⊙O的内接三角形，AB 是⊙O的直径，∠BAC＝2∠ABC，
过点 B的切线交 AC 的延长线于点 D，若⊙O的半径为 1，则 CD 长为（　　）
A．3 B．4 C．2 D．
【变式 2-1】（2019•灌南县二模）如图，菱形 ABCD 的边 AB＝5，面积为 20，∠BAD＜90°，⊙O与边
AB、AD 都相切，AO＝2，则⊙O的半径长等于（　　）
A．B．C．D．
2
【变式 2-2】（2019•昆山市二模）如图，⊙O中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 BC，AD，过点 C的
切线与 AB 的延长线交于点 F，若∠D＝65°，则∠F的度数等于（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【类型 3】切线长定理
【例 3】（2019•宜兴市二模）如图，PA、PB 切⊙O于点 A、B，PA＝10，CD 切⊙O于点 E，交 PA、PB 于
C、D两点，则△PCD 的周长是（　　）
A．10 B．18 C．20 D．22
【变式 3-1】（2019•鼓楼区校级模拟）如图，AB 是⊙O的直径，点 C为⊙O外一点，CA、CD 是⊙O的切
线，A、D为切点，连接 BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA 的大小是（　　）
A．32° B．48° C．60° D．66°
【变式 3-2】（2019 秋•阜宁县期中）如图，⊙O为△ABC 的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点 D，E
分别为 BC，AC 上的点，且 DE 为⊙O的切线，则△CDE 的周长为（　　）
A．9 B．7 C．11 D．8
3
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