专题14 圆的切线有关证明问题（解析版）【苏科版】

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2020 年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】

专题 14 圆的切线有关证明问题

【方法指导】

1. 判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为 r，圆心 O到直线 l的距离为 d．

①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r

③直线l和⊙O相离⇔d＞r．

2. 切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

③ 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆

心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．

3.切线的判定：

（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（2）在应用判定定理时注意：

① 切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．

② 切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．

③ 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线

的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确

指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交

点，作半径，证垂直”．

4.切线长定理：

（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切

线的夹角．切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两

个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．

（3）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些

证明求解问题中经常用到．

5.三角形的内切圆和内心

（1）内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做

圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．

（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．

（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平

分这个内角．

【题型剖析】

【类型 1】直线和圆的位置关系

【例 1】（2019 秋•邗江区校级期中）直线 l与半径为 r的⊙O相交，且点 O到直线 l的距离为 3，则 r的取

值范围是（　　）

A．r＜3 B．r＝3 C．r＞3 D．r≥3

【分析】直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为 r，圆心 O到直线 l的距离是 d，①当d＝r时，

直线 l和⊙O相切，②当d＜r时，直线 l和⊙O相交，③当d＞r时，直线 l和⊙O相离，根据以上内容

得出即可．

【解析】∵直线 l与半径为 r的⊙O相交，且点 O到直线 l的距离为 3，

∴r＞3，

故选：C．

【方法小结】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离 d与半径 r的大小关系解答．

若d＜r，则直线与圆相交；若 d＝r，则直线于圆相切；若 d＞r，则直线与圆相离．

【变式 1-1】（2018•常州模拟）半径为 10 的⊙O和直线 l上一点 A，且 OA＝10，则直线 l与⊙O的位置关

系是（　　）

A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交

【分析】分两种情况求解：OA⊥l；OA 不垂直 l．根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判定．

【解析】若 OA⊥l，则圆心 O到直线 l的距离就是 OA 的长，等于半径，所以直线 l与⊙O相切；

若OA 与直线 l不垂直，根据垂线段最短，圆心 O到直线 l的距离小于 5，即小于半径，所以直线 l与

⊙O相交．

故选：D．

【变式 1-2】（2019•宜兴市一模）如图，在直角△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是

AC、BC 上的一点，且 DE＝3．若以 DE 为直径的圆与斜边 AB 相交于 M、N，则 MN 的最大值为（

　）

A．B．2 C．D．

【分析】根据题意有 C、O、G三点在一条直线上 OG 最小，MN 最大，根据勾股定理求得 AB，根据三

角形面积求得 CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得 MN 的最大值．

【解析】取 DE 的中点 O，过 O作OG⊥AB 于G，连接 OC，

又∵CO＝1.5，

∴只有 C、O、G三点一线时 G到圆心 O的距离最小，

∴此时 OG 达到最小．

∴MN 达到最大．

作CF⊥AB 于F，

∴G和F重合时，MN 有最大值，

∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，

∴AB 5，

∵AC•BC AB•CF，

∴CF ，

∴OG ，

∴MG ，

∴MN＝2MG ，

故选：C．

【类型 2】切线的性质问题

【例 2】（2019•宿豫区模拟）如图，△ABC 是⊙O的内接三角形，AB 是⊙O的直径，∠BAC＝2∠ABC，

过点 B的切线交 AC 的延长线于点 D，若⊙O的半径为 1，则 CD 长为（　　）

A．3 B．4 C．2 D．

【分析】根据圆周角定理和∠BAC＝2∠ABC，求得∠ABC＝30°，解直角三角形求得 AC＝1，BC ，

由切线的性质得出∠ABD＝90°，根据射影定理即可求得．

【解析】∵AB 是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BAC+∠ABC＝90°，

∵∠BAC＝2∠ABC，

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