专题13与圆有关的计算问题（解析版）【苏科版】

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2020 年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】

专题 13 与圆有关的计算问题

【方法指导】

1.垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．

这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．

2.圆心角与圆周角

（1）在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相

等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重

合．

（2）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌

握．

3.圆内接四边形：

（1）圆内接四边形的性质：

① 圆内接四边形的对角互补．

② 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．

（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起

来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．

4. 正多边形的有关概念

① 中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．

② 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．

③ 中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

④ 边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

4.圆的有关计算：

（1）扇形的弧长 l＝

；

扇形的面积 S＝＝

（2）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.

（3）阴影部分的面积计算常通过添加辅助线转化为规则图形的面积的计算.

【题型剖析】

【类型 1】垂径定理及应用

【例 1 】（2019•泰州一模）如图，C是以 AB 为直径的半圆 O上任意一点，AB＝3，则△ABC 周长的最大

值是（　　）

A．2 3 B．3 3 C．2 3 D．9

【分析】当点 C在中点时，△ABC 周长最大，然后根据 AB＝3计算即可．

【解析】∵AB 为直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AC2+BC2＝AB2＝32＝9，

AC+BC ，

当S△ABC 最大时，AC+BC 最大，

∵S△ABC AB•CD ，

当点 C在中点时，CD＝CO AB 为最大，

此时 S△ABC 最大，S△ABC ，

即AC+BC 最大，

△ABC 周长的最大值＝AC+BC+AB 3．

故选：B．

【变式 1-1】（2019•滨湖区一模）如图，在⊙O中，已知弦 AB 长为 16cm，C为的中点，OC 交AB 于点

M，且 OM：MC＝3：2，则 CM 长为（　　）

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm

【分析】连接 OA，根据垂径定理的推论得到 OC⊥AB，根据垂径定理求出 AM，根据勾股定理列式计算，

得到答案．

【解析】连接 OA，

∵C为的中点，

∴ ，

∴OC⊥AB，

∴AM AB＝8，

设OM＝3a，则 CM＝2a，

∴OC＝5a，

由勾股定理得，OA2＝AM2+OM2，即（5a）2＝82+（3a）2，

解得，a＝2（负值舍去），

则CM＝2a＝4（cm），

故选：B．

【变式 1-2】（2019•吴兴区校级一模）如图，⊙O的弦 AB＝8，M是AB 的中点，且 OM＝3，则⊙O的半

径等于（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】连接 OA，根据垂径定理求出 OM⊥AB，求出 AM 长，根据勾股定理求出 OA 即可．

【解析】连接 OA，

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