专题13 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题（原卷版）
专题 13 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
【压轴综述】
纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要
考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，
解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，
利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几
何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，
涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、
定点、定直线、存在性和探索性问题等.
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解定点、定值、
定直线问题.
一、定点问题
1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量
x
，
y
视作常
数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数
的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于
x
，
y
的方程组，这个方程组的解所确定的点
就是直线或曲线所过的定点．
2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研
究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊
情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
二、定值问题
1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜
率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始
终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能
否得到一个常数.
2. 定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进
而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运
1
算
三、定直线问题
定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为
求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．
【压轴典例】
1．（2021·上海高三专题练习）若AB 是过椭圆 中心的一条弦，M
是椭圆上任意一点，且AM､BM 与两坐标轴均不平行，kAM､kBM 分别表示直线 AM､BM 的斜
率，则kAM·kBM=（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·江苏镇江市·高三期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第
九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称
“勾”“股”“弦”，且“勾 2+股2=弦2”，设直线 交抛物线 于 ， 两点，若
，恰好是 的“勾”“股”（ 为坐标原点），则此直线 恒过定点（
）
A．B．C．D．
3．（2020·全国高三专题练习）已知 为坐标原点，过点 作两条直线分别与抛物
线 ： 相切于点 、 ， 的中点为 ，则下列结论错误的是（ ）
A．直线 过定点 ；
B． 的斜率不存在；
C． 轴上存在一点 ，使得直线 与直线 关于 轴对称；
2
D． 、 两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.
4.(2020·全国卷
Ⅰ
高考文科·T21)已知
A
,
B
分别为椭圆
E
: +
y
2=1(
a
>1)的左、右顶点,
G
为
E
的上顶点, · =8,
P
为直线
x
=6 上的动点,
PA
与
E
的另一交点为
C
,
PB
与
E
的另一交
点为
D.
(1)求
E
的方程;(2)证明:直线
CD
过定点
.
5.(2020·新高考全国
Ⅰ
卷)已知椭圆
C
:+=1(
a
>
b
>0)的离心率为 ,且过点
A
(2,1)
.
(1)求
C
的方程;
(2)点
M
,
N
在
C
上,且
AM
⊥
AN
,
AD
⊥
MN
,
D
为垂足
.
证明:存在定点
Q
,使得|
DQ
|为定值
.
6.(2020·北京高考·T20)已知椭圆
C
:+=1 过
A
(-2,-1),且
a
=2
b.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)过点
B
(-4,0)作直线
l
与
C
交于
M
,
N
,
MA
与
NA
与
x
=-4 交于
P
,
Q
,求
.
7．（2021·河南新乡市·高三一模）已知动点 到点 的距离与到直线
的距离之比为.
（1）求动点 的轨迹 的标准方程；
3
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