专题13 三角函数图象与性质（原卷版）

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专题 13 三角函数图象与性质

[高考定位] 高考对本讲内容主要考查三角函数的定义、图象与性质；重点考查图象的变换，函数的单调性、

奇偶性、周期性、对称性、最值等；常与三角恒等变换交汇命题，题目难度为中等偏下．

考点一　三角函数的定义、诱导公式及基本关系

[核心提炼]

1．三角函数：设 α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象

限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.

3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”

[规律方法]

　应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项

(1)当角的终边所在位置不唯一确定的时候，要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就可能出现错

误．

(2)应用诱导公式与同角关系进行开方运算时，一定要注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简

要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．

考点二　三角函数的图象与解析式

[核心提炼]

函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象

(1)“五点法”作图：

设z＝ωx＋φ，令 z＝0，，π，，2π，求出 x的值与相应的 y的值，描点、连线可得．

[规律方法]解决三角函数图象问题的方法及注意事项

(1)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低

点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ω；常根据“五点法”中的 5个点确定 φ，通常把第一个零点作为突破

口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．

(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量 x而言的，

如果 x的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．

考点三　三角函数的性质

[核心提炼]

　函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质

(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数 y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数：φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数 y＝Asin(ωx＋φ)为偶函

数．

(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为 T＝.

(3)单调性：根据 y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；

由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．

(4)对称性：利用 y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)得其对称中心．

利用 y＝sin x的对称轴为 x＝kπ＋(k∈Z)求解，令 ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴.

[规律方法]

　三角函数的单调区间、周期及最值(或值域)的求法

(1)三角函数单调区间的求法：

求形如 y＝Asin(ωx＋φ)[或y＝Acos(ωx＋φ)](A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间的一般思路是令 ωx＋

φ＝z，则 y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．

(2)三角函数周期的求法：

函数 y＝Asin(ωx＋φ)[或y＝Acos(ωx＋φ)]的最小正周期 T＝.应特别注意 y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期为 T＝.

(3)三角函数最值(或值域)的求法：

在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数 f(x)的最值.

【题型汇总】

一．函数图象

二．求周期的方法

三、三角函数中的最值

四．求的方法

五．三角函数的奇偶性

六．求初相的方法

七．三角函数性质综合

八．分段函数

【方法规律】

一．函数图象

例1．函数（且）的图像是下列图像中的（）

A．B．

C．D．

练习 1.函数在的图像大致为（）

A．B．

C．D．

练习 2.函数（其中，）的部分图象如图所示、将函数的图象向左

平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）

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