专题10三角形的综合问题（原卷版）【苏科版】

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2020 年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】

专题 10 三角形的综合问题

【方法指导】

1.全等三角形解决问题的常见技巧：

（1）全等三角形的判定方法有 SSS、SAS、ASA、AAS、HL（适用于直角三角形）．

（2）作辅助线构造全等三角形

① 把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．

② 证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证

明．

2.等腰三角形解题技巧：

（1）等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等

的重要手段．

（2）在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的

中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起

解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．

3.等边三角形常用方法与思路：

（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性

质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性

质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．

（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有 30°角的直

角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．

（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一

般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个

60°的角判定．

【题型剖析】

【类型 1】三角形有关角的综合计算

【例 1】（2019•泉山区模拟）如图，点、分别在射线、上运动（不与点重合）．

（1）如图 1，若，、的平分线交于点，则　　；

（2）如图 2，若，、的平分线交于点，求的度数；

（3）如图 2，若，的外角、的平分线交于点，求与之间

的数量关系，并求出的度数；

（4）如图 3，若，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．

试问：随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由．

【变式 1-1】（2019•沭阳县模拟）探究与发现：

如图 1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一

个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

（1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图 2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若

，则　 40 　；

②如图 3，平分，平分，若，，求的度数；

③如图 4，，的 10 等分线相交于点、、，若，，求

的度数．

【变式 1-2】（2019 春•海安市期末）如图，已知是的角平分线，是的外角的

平分线．延长，分别交于点，

（1）求证：；

（2）小智同学探究后提出等式：．请通过推理演算判断“小智发现”是否正确？

（3）若，求的度数．

【变式 1-3】（2019 春•高淳区校级模拟）中，三个内角的平分线交于点，过点作，

交边于点．

（1）如图 1，

①若，则　　，　　；

②猜想与的关系，并说明你的理由；

（2）如图 2，作外角的平分线交的延长线于点．若，，则

　　 _ ______ ．

【类型 2】全等三角形的判定与性质

【例 2】（2019•如皋市一模）如图，、、是直线上的三个点，，且

．

（1）求证：；

（2）若，点在直线的上方，为等边三角形，补全图形，请判断的形状，并说明

理由．

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