专题10.3 用样本估计总体（解析版）

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第十篇算法初步、统计与统计案例

专题 10.03 用样本估计总体

【考纲要求】

1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图，体会它们各

自的特点．

2.理解样本数据标准差的意义和作用并会计算．

3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．

4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本数字特征估计总体的数字特征，理解用样本估计总体的思

想.

【命题趋势】

根据样本数据求基本的数字特征，利用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

【核心素养】

本讲内容体现对数学运算，数据分析，数学建模核心素养的考查.

【素养清单•基础知识】

1．频率分布直方图

(1)纵轴表示，即小长方形的高＝；

(2)小长方形的面积＝组距×＝频率；

(3)各个小方形的面积总和等于 1 .

2．频率分布表的画法

第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；

第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；

第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．

3．茎叶图

茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，

茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁

边生长出来的数．

4．中位数、众数、平均数的定义

(1)中位数

将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中

位数．

(2)众数

一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．

(3)平均数

一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据 x1，x2，…，xn的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)．

5．样本的数字特征

如果有 n个数据 x1，x2，…，xn，那么这 n个数的

(1)平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)．

(2)标准差 s＝ .

(3)方差 s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．

【素养清单•常用结论】

1．频率分布直方图中的常见结论

(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．

(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．

(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．

2．平均数、方差的公式推广

(1)若数据 x1，x2，…，xn的平均数为，则 mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是 m＋a.

(2)若数据 x1，x2，…，xn的方差为 s2，则数据 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为 a2s2.

【真题体验】

【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小

鼠随机分成 A，B两组，每组 100 只，其中 A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小

鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百

分比．根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C）的估计值为 0.70．

（1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

【答案】（1）a=0.35，b=0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为 4.05，6.00．

【解析】（1）由已知得 0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．

b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．

（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．

乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．

2．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为

中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读

过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西游记》且阅读过

《红楼梦》的学生共有60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为

A．0.5 B．0.6

C．0.7 D．0.8

【答案】C

【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为 90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为

70÷100=0.7．故选 C．

【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思

想解题．

3．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，

从9个原始评分中去掉 1个最高分、1个最低分，得到 7个有效评分．7个有效评分与 9个原始评分相比，

不变的数字特征是

A．中位数 B．平均数

C．方差 D．极差

【答案】A

【解析】设9位评委评分按从小到大排列为．

则①原始中位数为，去掉最低分，最高分后剩余，中位数仍为，A正确；

② 原始平均数，后来平均数，平均数受

极端值影响较大，与不一定相同，B不正确；

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