专题06数列(文理合卷)（解析版）高考数学压轴必刷题

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2020 年高考数学压轴必刷题

专题 06 数列(文理合卷)

1．【2019 年浙江 10】设a，b∈R，数列{an}满足 a1＝a，an+1＝an2+b，n∈N*，则（　　）

A．当 b时，a10＞10 B．当 b时，a10＞10

C．当 b＝﹣2时，a10＞10 D．当 b＝﹣4时，a10＞10

【解答】解：对于 B，令 0，得 λ，

取，∴ ，

∴当 b时，a10＜10，故 B错误；

对于 C，令 x2﹣λ﹣2＝0，得 λ＝2或λ＝﹣1，

取a1＝2，∴a2＝2，…，an＝2＜10，

∴当 b＝﹣2时，a10＜10，故 C错误；

对于 D，令 x2﹣λ﹣4＝0，得，

取，∴ ，…， 10，

∴当 b＝﹣4时，a10＜10，故 D错误；

对于 A，，，

，

an+1﹣an＞0，{an}递增，

当n≥4时， an1，

∴ ，∴ （）6，∴a10 10．故 A正确．

故选：A．

2．【2018 年浙江 10】已知 a1，a2，a3，a4成等比数列，且 a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3），若 a1＞1，则（

）

A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4

C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4

【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，

a1＞1，设公比为 q，

当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3），不成立，

即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除 A、D．

当q＝﹣1时，a1+a2+a3+a4＝0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以 q≠﹣1；

当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3）不成立，

当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且 a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3），能够成立，

故选：B．

3．【2017 年新课标 1理科 12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习

数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答

案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下来的两

项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数 N：N＞100 且该数

列的前 N项和为 2的整数幂．那么该款软件的激活码是（　　　　）

A．440 B．330 C．220 D．110

【解答】解：设该数列为{an}，设 bn2n+1﹣1，（ n∈N+），则

ai，

由题意可设数列{an}的前 N项和为 SN，数列{bn}的前 n项和为 Tn，则 Tn＝21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1＝2n+1

﹣n﹣2，

可知当 N为时（n∈N+），数列{an}的前 N项和为数列{bn}的前 n项和，即为 2n+1﹣n﹣2，

容易得到 N＞100 时，n≥14，

A项，由 435，440＝435+5，可知 S440＝T29+b5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故 A项符合题意．

B项，仿上可知 325，可知 S330＝T25+b5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为 2的整数幂，故 B

项不符合题意．

C项，仿上可知 210，可知 S220＝T20+b10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为 2的整数

幂，故 C项不符合题意．

D项，仿上可知 105，可知 S110＝T14+b5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为 2的整数幂，故

D项不符合题意．

故选 A．

方法二：由题意可知：，，，，

根据等比数列前 n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，

每项含有的项数为：1，2，3，…，n，

总共的项数为 N＝1+2+3+…+n，

所有项数的和为 Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1＝（21+22+23+…+2n）﹣n n＝2n+1﹣2﹣

n，

由题意可知：2n+1 为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，

则①1+2+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝1，总共有 2＝3，不满足 N＞100，

②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝5，总共有 3＝18，不满足 N＞100，

③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝13，总共有 4＝95，不满足 N＞100，

④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝29，总共有 5＝440，满足 N＞100，

∴该款软件的激活码 440．

故选：A．

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