专题06 推理与证明（同步练习）（人教A版选修2-2）（解析版）

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专题 06 推理与证明（同步练习）
一、推理
（一）归纳推理
例1-1．观察下列等式：
……
照此规律，第 个等式可为 。
【答案】
【解析】第 个等式为 。
例1-2．二维空间中，圆的一维测度(周长)，二维测度(面积)；三维空间中，球的二维测
度(表面积)，三维测度(体积)；类比推理，若四维空间中， “超球”的四维测度
，猜想其三维测度 _______。
【答案】
【解析】根据类比推理可知三维测度 是四维测度 的导数， ，故填 。
总结：(1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比
出新的结果；
(2)类比是一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；
(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现功能；
(4)类比推理的关键是找到合适的类比对象。如平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到
空间立体几何中，得到类似结论。一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：
（二）归纳推理
例2-1．观察下列数据：
请你归纳 、 、 之间关系是__________。
【答案】
【解析】经观察可推测 、 、 之间关系是 。
例2-2．观察下列等式：
1
……
由以上各式推测第 个等式为______________。
【答案】
【解析】经观察可推测第 个等式为 。
例2-3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ 。
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
【解析】(1)选择②式，计算如下： ；
(2)三角恒等式为 ，
证明如下：
。
三、演绎推理
例3-1．已知 ，由不等式 ， ，……，我们
可以得出推广结论： ( )，则 ( )。
A、
B、
C、
D、
2
【答案】D
【解析】当 时，A选项不符合，当 时，C选项不符合，
当 时， ，B选项不符合，
故选 D。
例3-2．设 是至少含有两个元素的集合，在 上定义了一个二元运算“ ”(即对任意的 ，
对于 有序元素对 ，在 中有唯一确定的元素 与之 对应)。若对任意的 ，有
，则下列等式中不恒成立的是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】抓住本题的本质 此式恒成立， 、 只要为 中元素即可( )，
B中由已知即为 符合已知条件形式，
C中取 即可，
D中 相当于已知中的 ，也正确，
只有 A不正确，故选 A。
例3-3．已知函数 有如下性质：如果常数 ，那么该函数在 上是减函数，在
上是增函数。
(1)如果函数 ( )的值域为 ，求 的值；
(2)研究函数 (常数 )在定义域内的单调性，并说明理由。
【解析】(1)用三段论方式进行说明。
∵有如下性质：如果常数 ，
那么该函数在 上是减函数，在 上是增函数，
又( )中 为常数，
∴是( )型函数，
∴在 上是减函数，在 上是增函数，
∴当 时， 取最小值，又 的值域为 ，
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