《新高一同步（初升高）数学衔接讲义》第13讲.幂函数解析版

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第 13 讲 幂函数图像及其性质
1.幂函数的定义： 一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数．
2.幂函数的图象
3.幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象 ．幂函数是偶函数
时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象
限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ．
③单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数．如果 ，
则幂函数的图象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴．
其中当 时，幂函数在 递增的趋势越来越快，图像下凹；当 时，幂函数
在 递增的趋势越来越慢，图像上凸.
④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数．
基础强化
1
1. 下列函数中既是偶函数又在 上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2. 函数
2
xy
在区间
]2,
2
1
[
上的最大值是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
3. 下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4. 函数 的图象是（ ）
A B C D
【答案】A
5. 下列命题中正确的是（ ）
A．当 时函数 的图象是一条直线
2
B．幂函数的图象都经过 和 点
C．若幂函数 是奇函数，则 是定义域上的增函数
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
【答案】D
【解析】A 错误:当 时函数 的图象是一条直线 除去 点；B 错误：幂函
数的图象都经过 点，当指数大于 0 时，都经过 点；C 错误：若幂函数 是奇
函数且 ，则 是定义域上的减函数，例如 ；D 正确：幂函数的图象一定经
过第一象限，不可能出现在第四象限.
6. 函数 和 图象满足（ ）
A．关于原点对称 B．关于 轴对称 C．关于 轴对称 D．关于直线 对称
【答案】D
7. 函数 ，满足（ ）
A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数
C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数
【答案】C
【解析】 ，作出图像如下图，由图可知 是奇函数又是增
函数，故选 C.
3
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