《新高一同步（初升高）数学衔接讲义》第12讲.函数的奇偶性原版

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第 12 讲 函数的奇偶性
1. 奇函数、偶函数的定义
奇函数：一般地，设函数 的定义域为 ,如果 ，都有 ，且
，那么函数 叫做奇函数.
偶函数：一般地，设函数 的定义域为 ,如果 ，都有 ，且
，那么函数 叫做偶函数.
2. 奇函数、偶函数的性质
奇函数性质：①定义域关于原点对称；②图像关于原点对称；③若定义域内包含 0，则
；
④ .
偶函数性质：①定义域关于原点对称；②图像关于 轴对称；③ .
3. 用定义证明函数奇偶性的步骤：
① 求 定义域.若定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若定
义域关于原点对称，则进行下一步;
② 化简 的解析式.
③ 求 ， 判 断 与 的 关 系 . 若 ，则 为奇函数；若
，则 为偶函数；若都不满足，则 既不是奇函数也不是偶函数；若
两个等式都满足，则 既是奇函数也是偶函数.
4. 判断函数奇偶的方法
（1）定义法；
（2）图像法；
1
（3）性质法: ① 偶函数的和、差、积、商(分母不为 0)仍为偶函数；
② 奇函数的和、差仍为奇函数；
③ 两个奇函数的积、商(分母不为 0)为偶函数；
③ 一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为 0)为奇函数.
（性质法里面需要注意定义域）
例1. 函数 的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
例2. 下列说法正确的是( )
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数 的定义域为 ，且 ，则 是奇函数
例3. 设奇函数 的定义域是 且图象的一部分如图所示，则不等式 的
解集是__________．
例4. 判断下列函数的奇偶性：
（1） ； （2） ；
2
（3） ； （4）
例5. 设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结
论中正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是偶函数
例6. 已知函数 是奇函数，则 ________．
例7. 函数 ，若对任意实数 都有 ，求证：
为奇函数．
3
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