《新高一同步（初升高）数学衔接讲义》第11讲.函数的单调性与最值原版
第 11 讲 函数的单调性与最值
一、单调性概念及性质
1．单调性的概念（一般地，设函数 的定义域为 ，区间 .）
名称 定义 几何意义 图形表示
增函数
如果 ，当 时，都有
，那么就称函数
在区间 上单调递增.
的图象在区间
上呈上升趋势
减函数
如果 ，当 时，都有
，那么就称函数
在区间 上单调递减.
的图象在区间
上呈下降趋势
2.单调区间的定义
如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 在这一区间
具有(严格的)单调性，区间 叫做函数 的单调区间．
3.证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：
① 设元——设 是给定区间内的任意两个数，且 ;
② 作差——计算 化简至最简（方便判断因式正负）；
③ 判号——判断 的正负，若符号不确定，则进行分类讨论；
④ 定论——根据符号下结论.
1. 判断函数单调性的方法：
（1）定义法；
（2）图像法；
1
（3）性质法：① 与 具有相同的单调性；
② 与 ，当 时单调性相同；当 时，单调性相反；
③ 当 ， 都是增(减)函数时， 是增(减)函数；
④ 当 恒不为零时， 与 具有相反的单调性；
⑤ 当 时， 与 具有相同的单调性．
例1. 若函数 的定义域为 且满足 ，则函数
在 上为( )
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不能确定
例2. 函数 在 上的图像如图所示，请写出函数的单调区间.
例3. 利用函数单调性的定义，判断并证明下列函数的单调性.
（1） （2）
2
例4. 研究函数 的性质.
例5. 判断下列函数的单调性，并求其单调区间.
（1） （2） （3）
3
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