《新高一同步（初升高）数学衔接讲义》第8讲.基本不等式解析版

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第 8 讲 基本不等式
1. 基本不等式：对于任意的正实数 ， （当且仅当 时，等号成立）
叫做正数 的算术平均数， 叫做正数 的几何平均数.
2. 使用原则：
一正：一般要求 同为正；
二定： 或 为定值；
三相等：当且仅当 时，不等式取得等号.
例1.
(1) 已知矩形周长为 8，则其面积最大值为多少？
(2) 已知某矩形的面积为 6，则其周长最小值为多少？
【答案】（1）4；（2） .
【解析】（1）设矩形长和宽分别为 ，依题意 ，
则 ，，当且仅当 时取等号，
所以面积最大值为 4；
（2）依题意 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
所以周长最小值为 .
例2.
变形：
1
(1) 已知 ，求 的最小值；
(2) 若 ， 有最大值还是有最小值？
【答案】（1）2；（2）最大值 .
【解析】（1） ， ，当且仅当 ，即 取等号，
所以 的最小值为 2；
（2） ， ， ，
当且仅当 ，即 取等号，
所以 的最大值为 .
例3. 已知 ，则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ， ，当且仅当 时取等号，即 ，
又 ，当且仅当 时取等号，即 ，
所以 ，选 D.
例4.
2
(1) 已知 ，则 的最大值为 ；
(2) 已知 ，则 的最大值为 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1） ， ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最大值为 ；
（2） ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最大值为 .
例5. 某同学对 求最小值，书写过程如下，请指出解法中的错误之处.
【答案】没有考虑取等号的条件，上述不等式当且仅当 ，即 时取等号，
而 ，显然无法取等号.
解：令 ，则 ，故
3
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