《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题18 相似三角形中的四心问题专练（二）（解析版）

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专题 18 相似三角形中的四心问题专练（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 如图，已知在
Rt △ABC
中，
∠C=90∘
，
AC=BC
，
AB=6
，点 P是
Rt △ABC
的重心，则点 P到AB 所在直线的距离等于
()
A. 1B.
√
2
C.
3
2
D. 2
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线
的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2倍
做出辅助线是解答本题的
关键．
【解答】
解：如图，连结 CP 并延长，交 AB 于D，连结 BP 并延长交 AC 于E，且延长到 F，使
EF=PE
，连结 AF，
∵∠ ACB=90∘
，
AC=BC
，
AB=6
，
∴AC=BC=3
√
2
，
1
∵P
为
△ABC
的重心，
∴CE=AE
，
AD=DB
，
∴CD =1
2AB=3
，
∠CDB=90∘
．
在
△AEF
和
△CEP
中，
∵
{
AE=CE
∠AEF=∠CEP
EF=EP
∴△AEF ≌△CEP (SAS)
，
∴∠ FAE=∠ECP=45∘
，
CP=AF=3− DP
，
∴∠ FAD=90∘
，
∴CD/¿FA
，
∴△BPD ∽△ BFA
，
∴PD
FA =BD
BA
，
∴PD
3− PD =3
6
，
∴PD =1
．
2. G为
△ABC
的重心，
△ABC
的三边长满足
AB>BC>CA
，记
△GAB
，
△GBC
，
△GCA
的面积分别为
S1
、
S2
、
S3
，则有
()
A.
S1>S2>S3
B.
S1=S2=S3
C.
S1<S2<S3
D.
S1S2S3
的大小关系不确定
【答案】B
2
【分析】
本题考查了重心的概念．根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，可以延长 CG
交AB 于点 D，则可求得
S2=S3
，同理可证明
S1=S2
，故
S1
、
S2
、
S3
面积关系可求．
【解答】
解：如图，延长 CG 交AB 于点 D
则
△ACD
的面积
¿△BCD
的面积，
△AGD
的面积
¿△BGD
的面积
∴S2=S3
同理可证明
S1=S2
∴S1=S2=S3
3. 如图，已知 D是
△ABC
的重心，则下列结论错误的是
()
A.
AD=2DE
B.
AE=2DE
C.
BE=CE
D.
S△ABE =S△ACE
【答案】B
【分析】
考查了三角形的重心的概念，能够根据三角形的中位线定理结合相似三角形的性质证
明三角形的重心的性质．根据三角形的重心的性质和概念分析，明确三角形的重心是
三角形三边中线的交点．
【解答】
解：A、根据重心的性质可得：
AD=2DE
，故正确；
B、
AE=3DE
，符合三角形的重心的性质，故错误；
C、
BE=CE
，符合三角形的重心的性质，故正确；
3
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